E-school  di  Arrigo Amadori

Esercizi risolti 

Esercizio : G224

Ricavare le geodetiche del mezzo piano superiore dotato della metrica definita da (metrica della geometria non euclidea di Lobatchevski). .

Risoluzione :

I simboli di Christoffel della connessione riemanniana per questa metrica sono :

(vedi esercizio G222.).

L'equazione delle geodetiche è :

      .

Sostituendo, ricaviamo il sistema :

              (1).

Cerchiamo soluzioni nella forma :

       , con        (2) .

Graficamente :

Si ha :

per cui, sostituendo in (1) , si ottiene :

       .

Questo risultato significa che la soluzione della (1) è esprimibile nella forma indicata da (2) e che l'equazione differenziale :

fornisce l'andamento di rispetto a .

Un esempio numerico è il seguente :

in cui si nota il comportamento asintotico tendente a della funzione .

Le geodetiche cercate sono quindi delle semicirconferenze con centro sulla retta come indicato nell'esempio numerico :

Si noti che anche le semirette sono geodetiche, come indicato nel grafico :

Questo può essere visto sostituendo nella (1) od immaginando di eseguire il limite .

Salvo errori ed omissioni.

Fine. 

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