dotato della metrica definita da 
(metrica della geometria non euclidea di Lobatchevski). Si esegua il trasporto
parallelo del vettore 
dal punto 
lungo la curva 
.E-school di Arrigo
Amadori
Esercizi risolti
Esercizio : G222
Si consideri il mezzo piano superiore
dotato della metrica definita da
(metrica della geometria non euclidea di Lobatchevski). Si esegua il trasporto
parallelo del vettore
dal punto
lungo la curva
.
Risoluzione :
Si ha (in forma matriciale) :
e l'inversa :
.
I coefficienti (simboli di Christoffel) della connessione riemanniana sono dati da :
.
Nel nostro caso, dopo un semplice calcolo, si ricava :
.
L'equazione del trasporto parallelo è :
, 
,
dove 
(si notino gli indici controvarianti) è il campo parallelo cercato lungo la
curva data 
.
Nel nostro caso, ponendo per semplicità 
, si ha :
che, lungo la curva
, diventa :
.
Poniamo :
.
Sostituendo, si ricava :
e :
ovvero :
.
Risolvendo considerando le condizioni iniziali, si ottiene :
per cui il campo ricercato è :
.
Graficamente :
Salvo errori ed omissioni.
Fine.