E-school  di  Arrigo Amadori

Esercizi risolti 

Esercizio : G222

Si consideri il mezzo piano superiore  dotato della metrica definita da    (metrica della geometria non euclidea di Lobatchevski). Si esegua il trasporto parallelo del vettore    dal punto    lungo la curva  .

Risoluzione :

Si ha (in forma matriciale) :

       

e l'inversa :

        .

I coefficienti (simboli di Christoffel) della connessione riemanniana sono dati da :

        .

Nel nostro caso, dopo un semplice calcolo, si ricava :

        .

L'equazione del trasporto parallelo è :

        ,  ,

dove  (si notino gli indici controvarianti) è il campo parallelo cercato lungo la curva data  .

Nel nostro caso, ponendo per semplicità   , si ha :

         

che, lungo la curva    , diventa :

        .

Poniamo :

       

        .

Sostituendo, si ricava :

       

e :

         

ovvero :

        .

Risolvendo considerando le condizioni iniziali, si ottiene :

       

per cui il campo ricercato è :

        .

Graficamente :

       

Salvo errori ed omissioni.

Fine. 

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