E-school  di  Arrigo Amadori

Esercizi risolti 

Esercizio : G220

Sia  , , una immersione isometrica. La metrica della varietà    sia definita da  . Dedurre la metrica    di  .

Risoluzione :

Consideriamo il grafico :

       

        (i vettori tangenti sono indicati simbolicamente)

Le coordinate di    sono    mentre le coordinate di    sono  .

Le relazioni che legano le coordinate sono :

          .

Siano i vettori di  :

       

        .

Ad essi corrispondono i vettori tangenti a  :

       

       

definiti da :

       

        .

I corrispondenti vettori tangenti a  sono :

       

         

definiti da :

       

         

essendo i corrispondenti vettori di    

       

         

con :

       

        .

Si ha :

        ,  

e :

         , .

Eseguiamo ora i prodotti interni ed eguagliamoli.

Si ha :

       

e :

        .

Da    si ottiene infine :

        , .

Queste sono le relazioni cercate. 

Con la convenzione di Einstein esse diventano più semplicemente :

         

dove si sottintende la somma per gli indici ripetuti.

Salvo errori ed omissioni.

Fine. 

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