E-school  di  Arrigo Amadori

Esercizi risolti 

Esercizio : G219

Mostrare che la relazione "   è localmente isometrica a " non è una relazione simmetrica.

Risoluzione :

Lo dimostriamo con un esempio.

Come è ben noto, il piano ed il cilindro sono localmente isometrici (nei due sensi) (mentre non lo sono globalmente).

Graficamente :

       

Il diffeomorfismo    è una isometria locale.

Consideriamo la superficie regolare  formata da un semicilindro e da una semisfera, fusi assieme "in modo regolare". Il piano  è localmente isomorfo ad  mentre    non è localmente isomorfa ad  .

Mostriamo graficamente l'isometria locale di  con  :

       

Per ogni punto   di    è possibile scegliere un aperto    "sufficientemente piccolo" (che contenga  ) isometrico ad un corrispondente aperto  , tramite il diffeomorfismo , preso opportunamente sulla parte cilindrica di   . 

Mostriamo graficamente la non isometria locale di    con  :

       

Per un punto    preso sulla parte emisferica di  non esiste nessun diffeomorfismo    che sia una isometria locale. Per questo motivo    non è localmente isometrico con    per cui la relazione di isometria locale fra varietà non è simmetrica.

Salvo errori ed omissioni.

Fine. 

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