è localmente isometrica a 
" non è una relazione simmetrica.E-school di Arrigo
Amadori
Esercizi risolti
Esercizio : G219
Mostrare che la relazione "
è localmente isometrica a
" non è una relazione simmetrica.
Risoluzione :
Lo dimostriamo con un esempio.
Come è ben noto, il piano ed il cilindro sono localmente isometrici (nei due sensi) (mentre non lo sono globalmente).
Graficamente :
Il diffeomorfismo 
è una isometria locale.
Consideriamo la superficie regolare
formata da un semicilindro e da una semisfera, fusi assieme "in modo
regolare". Il piano 
è localmente isomorfo ad
mentre
non è localmente isomorfa ad .
Mostriamo graficamente l'isometria locale di
con :
Per ogni punto 
di è
possibile scegliere un aperto 
"sufficientemente
piccolo" (che contenga )
isometrico ad un corrispondente aperto 
, tramite il diffeomorfismo
, preso opportunamente sulla parte cilindrica di
.
Mostriamo graficamente la non isometria locale di
con :
Per un punto 
preso sulla parte emisferica di
non esiste nessun diffeomorfismo 
che sia una isometria locale. Per questo motivo
non è localmente isometrico con
per cui la relazione di isometria locale fra varietà non è simmetrica.
Salvo errori ed omissioni.
Fine.