E-school  di  Arrigo Amadori

Esercizi risolti 

Esercizio : G218

Provare che le isometrie di  , dotata della metrica indotta, sono le restrizioni a  delle trasformazioni lineari ortogonali di  .

Risoluzione :

Dimostriamo la sufficienza.

Consideriamo il grafico (per  ) :

       

Sia    lineare ed ortogonale. 

Indichiamo con    sia la trasformazione che la sua matrice rispetto alla base canonica di  .

Si ha (come matrici) :

          

e :

          oppure   

per cui    è un diffeomorfismo da   a  .

La sfera    è tale per cui :

         

essendo  .

Derivando totalmente la    rispetto ad un parametro si ottiene :

       

che dimostra che ogni vettore tangente a    è perpendicolare a  .

Scriveremo allora :

       

con  , .

Poniamo :

       

e :

        .

A causa della definizione di trasformazione lineare ortogonale avremo :

       

e :

        .

Essendo  si deduce che :

        .

Abbiamo così dimostrato che la restrizione di  a  è un diffeomorfismo da  a .

Si ha anche che :

       

essendo  la matrice aggiunta di  e tenendo presente che per le matrici ortogonali reali si ha  .

Abbiamo così dimostrato che    è perpendicolare a    e quindi tangente a    in  .

Introduciamo il vettore  .

Avremo :

        .

La restrizione della trasformazione lineare ortogonale a  è quindi una isometria di  .

Salvo errori ed omissioni.

Fine. 

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