, dotata
della metrica indotta, sono le restrizioni a 
delle trasformazioni lineari ortogonali di 
.E-school di Arrigo
Amadori
Esercizi risolti
Esercizio : G218
Provare che le isometrie di , dotata
della metrica indotta, sono le restrizioni a
delle trasformazioni lineari ortogonali di
.
Risoluzione :
Dimostriamo la sufficienza.
Consideriamo il grafico (per 
) :
Sia 
lineare ed ortogonale.
Indichiamo con 
sia la trasformazione che la sua matrice rispetto alla base canonica di
.
Si ha (come matrici) :
e :
oppure 
per cui
è un diffeomorfismo da a .
La sfera
è tale per cui :
essendo 
.
Derivando totalmente la
rispetto ad un parametro si ottiene :
che dimostra che ogni vettore tangente a
è perpendicolare a 
.
Scriveremo allora :
con
, 
.
Poniamo :
e :
.
A causa della definizione di trasformazione lineare ortogonale avremo :
e :
.
Essendo
si deduce che :
.
Abbiamo così dimostrato che la restrizione di
a
è un diffeomorfismo da
a .
Si ha anche che :
essendo 
la matrice aggiunta di
e tenendo presente che per le matrici ortogonali reali si ha 
.
Abbiamo così dimostrato che 
è perpendicolare a 
e quindi tangente a
in .
Introduciamo il vettore 
.
Avremo :
.
La restrizione della trasformazione lineare ortogonale
a
è quindi una isometria di
.
Salvo errori ed omissioni.
Fine.