E-school  di  Arrigo Amadori

Esercizi risolti 

Esercizio : G217

Una funzione     definita da    , , , è detta funzione affine propria. L'insieme, che chiameremo , di tali funzioni dotato dell'usuale legge di composizione    è un gruppo di Lie. Come varietà differenziabile, è semplicemente il mezzo piano superiore  con la struttura differenziabile indotta da  . Provare che :

   1)   la metrica riemanniana invariante a sinistra di  che nell'elemento neutro  coincide con la metrica euclidea (   ) è data da  (metrica della geometria non euclidea di Lobatchevski)

   2)   ponendo  , , la trasformazione  , , , è una isometria di  .

Risoluzione :

Una funzione  è una retta con coefficiente angolare positivo (essendo  ) rappresentata dal grafico :

       

Indichiamo una funzione    semplicemente con    e poniamo :

        .

Siano  , .

La legge di composizione è data da :

        

        .

Ovviamente non è una legge commutativa.

L'elemento neutro è :

        .

L'elemento inverso di    è :

       

(si ricordi che  ).

Consideriamo l'applicazione :

        .

Essendo  ,   , , avremo :

       

per cui possiamo scrivere :

       

che è palesemente differenziabile (di classe  , essendo  ).

Il gruppo    è quindi un gruppo di Lie rappresentabile dal seguente grafico :

       

Segue la risoluzione dei due quesiti.

        risoluzione quesito ( 1 )    

Introduciamo la traslazione da sinistra    definita da :

       

dove  , .

Una metrica riemanniana su    è invariante a sinistra se :

       

per ogni  , .

Consideriamo il grafico :

       

        (i vettori tangenti in    sono indicati simbolicamente)

E' :

        

       

        

        .

Si ha :

       

per cui :

        .

Poiché lo jacobiano è :

        ,

si ha perciò :

       

        .

D'altra parte è :

       

        .

Sostituendo, si ottiene :

       

e :

         

(non vi è ambiguità fra i simboli  e ).

Poiché  , si ricava :

        .

Dovendo essere :

        , 

si avrà :

        .

Supponiamo che :

       

ovvero che :

        .

Sostituendo, otteniamo :

        .

La metrica in    deve essere euclidea. Per questo avremo :

       

da cui se deduce che :

        .

        risoluzione quesito ( 2 )    

Consideriamo il grafico :

        

        (i vettori tangenti in    sono indicati simbolicamente)

Si ha :

       

         

per cui lo jacobiano della trasformazione  , intesa come  , è :

        .

Poniamo per comodità :

        .

Si ha allora :

       

        .

Utilizzando la metrica definita nel punto precedente, si ha :

       

e :

         .

Sostituendo, si ottiene :

        . 

Ma è :

       

per cui :

        .

Tenendo presente che   , con semplici calcoli si perviene al risultato :

        ,

per cui :

       

ed è così dimostrata l'isometria.

Salvo errori ed omissioni.

Fine. 

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