E-school di Arrigo
Amadori
Esercizi risolti
Esercizio : G217
Una funzione 
definita da 
, 
, 
, è detta funzione affine propria. L'insieme, che chiameremo 
, di tali funzioni dotato dell'usuale legge di composizione 
è un gruppo di Lie. Come varietà differenziabile,
è semplicemente il mezzo piano superiore 
con la struttura differenziabile indotta da 
. Provare che :
1) la metrica riemanniana invariante a sinistra
di che
nell'elemento neutro 
coincide con la metrica euclidea ( 
) è data da 
(metrica della geometria non euclidea di Lobatchevski)
2) ponendo 
, 
, la
trasformazione 
, 
, 
, è una isometria di
.
Risoluzione :
Una funzione
è una retta con coefficiente angolare positivo (essendo
) rappresentata dal grafico :
Indichiamo una funzione
semplicemente con 
e poniamo :
.
Siano 
, 
.
La legge di composizione è data da :
.
Ovviamente non è una legge commutativa.
L'elemento neutro è :
.
L'elemento inverso di
è :
(si ricordi che
).
Consideriamo l'applicazione :
.
Essendo
, , 
, avremo :
per cui possiamo scrivere :
che è palesemente differenziabile (di classe 
, essendo ).
Il gruppo
è quindi un gruppo di Lie rappresentabile dal seguente grafico :
Segue la risoluzione dei due quesiti.
risoluzione quesito ( 1 )
Introduciamo la traslazione da sinistra 
definita da :
dove
, 
.
Una metrica riemanniana su
è invariante a sinistra se :
per ogni 
, 
.
Consideriamo il grafico :
(i vettori tangenti
in sono
indicati simbolicamente)
E' :
.
Si ha :
per cui :
.
Poiché lo jacobiano è :
,
si ha perciò :
.
D'altra parte è :
.
Sostituendo, si ottiene :
e :
(non vi è ambiguità fra i simboli 
e 
).
Poiché 
, si ricava :
.
Dovendo essere :
,
si avrà :
.
Supponiamo che :
ovvero che :
.
Sostituendo, otteniamo :
.
La metrica in 
deve essere euclidea. Per questo avremo :
da cui se deduce che :
.
risoluzione quesito ( 2 )
Consideriamo il grafico :
(i vettori tangenti
in sono
indicati simbolicamente)
Si ha :
per cui lo jacobiano della trasformazione 
, intesa come 
,
è :
.
Poniamo per comodità :
.
Si ha allora :
.
Utilizzando la metrica definita nel punto precedente, si ha :
e :
.
Sostituendo, si ottiene :
.
Ma è :
per cui :
.
Tenendo presente che
, con semplici calcoli si perviene al risultato :
,
per cui :
ed è così dimostrata l'isometria.
Salvo errori ed omissioni.
Fine.