E-school  di  Arrigo Amadori

Esercizi risolti 

Esercizio : G216

Costruire una immersione isometrica del k-toro piatto  in  .

Risoluzione :

Ci limitiamo al caso    . La generalizzazione per ogni    è evidente.

Sia il grafico :

       

        (la parametrizzazione  per  è su  , i vettori tangenti  , , ,   sono indicati simbolicamente)

Introduciamo l'applicazione lineare :

          

con     rappresentata da :

        .

Si ha :

         

(dove con    si intende il differenziale di  ).

Perché    sia una immersione occorre che :

        .

Perché    sia una immersione isometrica occorre che :

        .

I vettori tangenti sono definiti dalle :

        .

Di conseguenza si ha :

       

e :

        . 

Si deve perciò avere :

        .

D'altra parte, la metrica del 2-toro piatto è :

          .

Si deve perciò avere :

        .

Mostriamo un esempio di soluzione.

Per semplicità poniamo :

       

per cui la trasformazione    diventa :

       

con :

        .

Limitatamente al piano    si tratta di una trasformazione ortogonale.

Le soluzioni sono :

        ; ; ;  

con  .

Si noti che la condizione    è soddisfatta "automaticamente".

Salvo errori ed omissioni.

Fine. 

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