in 
.E-school di Arrigo
Amadori
Esercizi risolti
Esercizio : G216
Costruire una immersione isometrica del k-toro piatto
in .
Risoluzione :
Ci limitiamo al caso 
. La generalizzazione per ogni 
è evidente.
Sia il grafico :
(la parametrizzazione
per 
è su 
, i vettori tangenti 
, 
, 
, 
sono indicati
simbolicamente)
Introduciamo l'applicazione lineare :
con 
rappresentata da :
.
Si ha :
(dove con 
si intende il differenziale di 
).
Perché 
sia una immersione occorre che :
.
Perché
sia una immersione isometrica occorre che :
.
I vettori tangenti sono definiti dalle :
.
Di conseguenza si ha :
e :
.
Si deve perciò avere :
.
D'altra parte, la metrica del 2-toro piatto è :
.
Si deve perciò avere :
.
Mostriamo un esempio di soluzione.
Per semplicità poniamo :
per cui la trasformazione
diventa :
con :
.
Limitatamente al piano 
si tratta di una trasformazione ortogonale.
Le soluzioni sono :
; 
; 
; 
con 
.
Si noti che la condizione
è soddisfatta "automaticamente".
Salvo errori ed omissioni.
Fine.