in modo che la proiezione naturale 
data da 
, con 
, sia una isometria locale.
Mostrare che, con questa metrica,
è isometrico al toro piatto.E-school di Arrigo
Amadori
Esercizi risolti
Esercizio : G215
Costruire una metrica
riemanniana sul k-toro
in modo che la proiezione naturale
data da
, con , sia una isometria locale.
Mostrare che, con questa metrica,
è isometrico al toro piatto.
Risoluzione :
Si confrontino gli esercizi G203 G206 G212 .
Ci limitiamo al caso 
e consideriamo 
. La generalizzazione per ogni 
è evidente.
Sia il grafico :
(la proiezione 
e la parametrizzazione
per 
sono su 
, i
vettori tangenti 
, 
sono indicati
simbolicamente)
Si ha :
dove 
è la funzione identità.
Per questo si ha :
.
D'altra parte è :
.
Imponendo che
sia una isometria, avremo :
da cui :
che fornisce :
che è evidentemente la metrica del toro piatto.
Salvo errori ed omissioni.
Fine.