E-school  di  Arrigo Amadori

Esercizi risolti 

Esercizio : G215

Costruire una metrica riemanniana sul k-toro  in modo che la proiezione naturale    data da    , con , sia una isometria locale. Mostrare che, con questa metrica,    è isometrico al toro piatto.

Risoluzione :

Si confrontino gli esercizi  G203   G206  G212 .

Ci limitiamo al caso    e consideriamo . La generalizzazione per ogni    è evidente.

Sia il grafico :

        

        (la proiezione    e la parametrizzazione  per  sono su  , i vettori tangenti  ,   sono indicati simbolicamente)

Si ha :

       

dove    è la funzione identità.

Per questo si ha :

        .

D'altra parte è :

        .

Imponendo che    sia una isometria, avremo :

       

da cui :

         

che fornisce :

       

che è evidentemente la metrica del toro piatto.

Salvo errori ed omissioni.

Fine. 

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