E-school  di  Arrigo Amadori

Esercizi risolti 

Esercizio : G214

Costruire una metrica riemanniana sullo spazio proiettivo reale    in modo che la proiezione naturale    sia una isometria locale.

Risoluzione :

Ci limitiamo al caso    . La generalizzazione per ogni    è evidente.

Consideriamo il grafico :

       

La parametrizzazione    scelta per    è :

          con  .

Consideriamo ora i vettori tangenti. Graficamente :

       

        (la rappresentazione grafica di  ,   è simbolica)

Abbiamo :

       

         

       

       

da cui :

        .

 D'altra parte, possiamo scrivere :

       

         

e :

        .

Poiché   deve essere una isometria locale, avremo :

        .

Da ciò si deduce che la struttura metrica     qui ricercata è data da :

        .

Salvo errori ed omissioni.

Fine. 

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