E-school  di  Arrigo Amadori

Esercizi risolti 

Esercizio : G212

Il toro piatto.

Risoluzione :

Ci limitiamo al caso    . La generalizzazione per ogni    è evidente.

Consideriamo il 2-toro    con la struttura differenziabile esposta nell'esercizio  G206 .

Forniamo a    una struttura riemanniana di metrica prodotto costruita partendo dalla metrica euclidea indotta da    su  .

Osserviamo il seguente grafico :

       

La funzione    è una parametrizzazione di  mentre le funzioni   ,   sono le proiezioni naturali di    su  (ciascuna per ogni componente di  ).

Consideriamo lo spazio tangente    . Siano  ,   due suoi vettori. Si avrà :

       

        .

Graficamente :

       

Consideriamo ora i differenziali  , . Si ha (lo mostriamo graficamente) :

       

Siamo ora in grado di costruire una struttura riemanniana di metrica prodotto su  .

La metrica prodotto naturale è :

        .

Nel nostro caso abbiamo :

        .

Dovendo essere :

        ,

confrontando, si deduce che :

          .

Abbiamo così fornito una struttura riemanniana di metrica prodotto a . La metrica è euclidea, il ché giustifica il nome "toro piatto".

Salvo errori ed omissioni.

Fine. 

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