. La generalizzazione per ogni 
è evidente.E-school di Arrigo
Amadori
Esercizi risolti
Esercizio : G212
Il toro piatto.
Risoluzione :
Ci limitiamo al caso
. La generalizzazione per ogni
è evidente.
Consideriamo il 2-toro 
con la struttura differenziabile esposta nell'esercizio G206
.
Forniamo a 
una struttura riemanniana di metrica prodotto costruita partendo dalla metrica
euclidea indotta da 
su 
.
Osserviamo il seguente grafico :
La funzione 
è una parametrizzazione di
mentre le funzioni 
, 
sono le
proiezioni naturali di
su (ciascuna
per ogni componente di 
).
Consideriamo lo spazio tangente 
. Siano 
, 
due suoi vettori. Si avrà :
.
Graficamente :
Consideriamo ora i differenziali 
, 
. Si ha (lo
mostriamo graficamente) :
Siamo ora in grado di costruire
una struttura riemanniana di metrica prodotto su
.
La metrica prodotto naturale è :
.
Nel nostro caso abbiamo :
.
Dovendo essere :
,
confrontando, si deduce che :
.
Abbiamo così fornito una struttura riemanniana di metrica prodotto
a
. La metrica è euclidea, il ché giustifica il nome "toro piatto".
Salvo errori ed omissioni.
Fine.