.E-school di Arrigo
Amadori
Esercizi risolti
Esercizio : G211
Costruire un embedding per la
bottiglia di Klein in .
Risoluzione :
Sia 
il 2-toro definito come :
dove :
.
Sia 
la bottiglia di Klein definita come l'insieme delle classi dei punti antipodali
del 2-toro che è diffeomorfo al toro ordinario di 
.
Graficamente :
Abbiamo perciò :
con :
(usando la notazione dei vettori colonna).
Introduciamo la funzione :
definita da :
, con 
, 
, 
.
Poiché si ha :
,
si deduce immediatamente che :
.
Per questo motivo è conveniente definire la funzione :
dove :
.
Vogliamo dimostrare che 
è un embedding di
in .
Si dimostra che
è iniettiva. Per fare questo basta confrontare 
con la parametrizzazione del toro :
con 
, 
.
Calcoliamo il differenziale 
in forma matriciale.
Si ha :
.
Si dimostra con semplici calcoli che
ha rango 
per
cui 
è iniettiva.
Essendo infine
una varietà compatta, si deduce che
è un diffeomorfismo.
Ciò dimostra che
è un embedding di
in .
Salvo errori ed omissioni.
Fine.