E-school  di  Arrigo Amadori

Esercizi risolti 

Esercizio : G211

Costruire un embedding per la bottiglia di Klein in  .

Risoluzione :

Sia    il 2-toro definito come :

       

dove :

        .

Sia    la bottiglia di Klein definita come l'insieme delle classi dei punti antipodali del 2-toro che è diffeomorfo al toro ordinario di  . 

Graficamente :

      

Abbiamo perciò :

         

con :

       

(usando la notazione dei vettori colonna). 

Introduciamo la funzione :

       

definita da :

        , con  , , .

Poiché si ha :

        ,

si deduce immediatamente che :

        .

Per questo motivo è conveniente definire la funzione :

       

dove :

        .

Vogliamo dimostrare che    è un embedding di    in  .

Si dimostra che    è iniettiva. Per fare questo basta confrontare    con la parametrizzazione del toro :

        con  , .

Calcoliamo il differenziale    in forma matriciale.

Si ha :

         .

Si dimostra con semplici calcoli che    ha rango  per cui    è iniettiva.

Essendo infine    una varietà compatta, si deduce che    è un diffeomorfismo.

Ciò dimostra che    è un embedding di    in  .

Salvo errori ed omissioni.

Fine. 

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