E-school  di  Arrigo Amadori

Esercizi risolti 

Esercizio : G210

Costruire un embedding del piano proiettivo  in  .

Risoluzione :

Si consideri il grafico :

       

L'applicazione differenziabile :

       

verrà definita in seguito.

 E' :

          con   ,  

e :

        .

Introduciamo l'applicazione :

          con   .

E' immediato verificare che :

        con .

Poniamo :

       

(restrizione di    a  ).

Si ha quindi :

        con .

Possiamo allora porre :

        .

Dobbiamo dimostrare che    è un embedding di  in  .

Consideriamo la parametrizzazione di    così definita :

          con    ,  .

Introduciamo l'applicazione :

         

definita come :

        .

Graficamente :

        

Evidentemente è :

        . 

Calcoliamo  in forma matriciale. 

Si ha :

        .

Per ogni punto    appartenente a  , la matrice    è di rango    per cui    è iniettiva.

Considerando analogamente le altre parametrizzazioni di  (vedi esercizio  G202 ), si deduce che     è una immersione di  in  .

Poiché    è iniettiva (lo si può dimostrare direttamente per via algebrica) e    è compatto (omettiamo la dimostrazione), si deduce che    è un diffeomorfismo.

Abbiamo così dimostrato che    è un embedding di    in   .

Salvo errori ed omissioni.

Fine. 

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