E-school  di  Arrigo Amadori

Esercizi risolti 

Esercizio : G209

Dimostrare che il piano proiettivo    non è orientabile.

Risoluzione :

E' facile rendersi conto che il piano proiettivo    contiene un aperto che è diffeomorfo al nastro di Möbius. 

Ciò è evidente osservando il grafico :

       

Esattamente, l'insieme delle classi  , con  appartenente alla zona sferica colorata, formano un aperto di  . Tale insieme è diffeomorfo al nastro di Möbius (vedi esercizio G204 ).

E' d'altro canto facile rendersi conto che se una varietà differenziabile è orientabile allora ogni suo sottoinsieme aperto è una sua sottovarietà orientabile (omettiamo la dimostrazione perché il fatto è intuitivo). 

Per questi motivi, essendo il nastro di Möbius notoriamente non orientabile, il piano proiettivo    non è orientabile.

Salvo errori ed omissioni.

Fine. 

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