non è orientabile.E-school di Arrigo
Amadori
Esercizi risolti
Esercizio : G209
Dimostrare che il piano proiettivo
non è orientabile.
Risoluzione :
E' facile rendersi conto che il piano proiettivo
contiene un aperto che è diffeomorfo al nastro di Möbius.
Ciò è evidente osservando il grafico :
Esattamente, l'insieme delle classi 
, con 
appartenente alla zona sferica colorata, formano un aperto di
. Tale insieme è diffeomorfo al nastro di Möbius (vedi esercizio G204
).
E' d'altro canto facile rendersi conto che se una varietà differenziabile è orientabile allora ogni suo sottoinsieme aperto è una sua sottovarietà orientabile (omettiamo la dimostrazione perché il fatto è intuitivo).
Per questi motivi, essendo il nastro di Möbius notoriamente non
orientabile, il piano proiettivo
non è orientabile.
Salvo errori ed omissioni.
Fine.