E-school  di  Arrigo Amadori

Esercizi risolti 

Esercizio : G207

Provare che il fibrato tangente    di una varietà differenziabile    è orientabile.

Risoluzione :

La definizione del fibrato tangente   è la seguente :

        .

La varietà differenziabile  è dotata della struttura differenziabile :

        . 

Il fibrato tangente è dotato della struttura differenziabile :

         

dove :

       

e :

       

dove    sono le coordinate di    e dove .    

Consideriamo il caso  . La generalizzazione per ogni    è evidente.

Rappresentiamo graficamente quanto fin qui espresso.

Per la varietà :

        

Per il fibrato tangente :

       

Prendiamo due intorni coordinati di  , segnatamente   ,  , per cui sia :

         

e consideriamo la funzione :

         .

Graficamente .

       

Calcoliamo :

          .

Si ha evidentemente :

         

da cui, con simbolismo matriciale, avremo :

        ,

dove    è, nel nostro caso esemplificativo  , una matrice ed è :

        .

Si ha immediatamente :

       

per cui il fibrato tangente  è orientabile.

Si noti che    è orientabile anche quando  non lo è.

Salvo errori ed omissioni.

Fine. 

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