E-school  di  Arrigo Amadori

Esercizi risolti 

Esercizio : G206

Mostrare che la varietà prodotto  di    cerchi    (appartenenti ad  ) è diffeomorfo al k-toro  .

Risoluzione :

La struttura differenziabile del k-toro    è mostrata nell'esercizio  G203 .

Limitiamo la dimostrazione al caso  . La generalizzazione per ogni    è evidente.

Introduciamo, per convenienza, la varietà  , diffeomorfa a  , indicata dal grafico :

        

dove le traslazioni vengono effettuate sommando alle coordinate  , , con  ,   interi.

Ovviamente, il quadrato  contiene tutti i rappresentanti di tutte le classi per cui possiamo considerare ciascun punto del suddetto quadrato come coincidente con la sua classe. "Rappresenteremo" cioè    con il suddetto quadrato.

Graficamente :

        

        (il tratteggio indica che i punti non vengono considerati) 

Evidentemente, le classi rappresentate dai punti situati sui lati opposti del quadrato coincidono. Graficamente :

       

Consideriamo l'applicazione descritta dal grafico :

       

La classe    corrisponde in modo biunivoco a  . Tale corrispondenza determina un diffeomorfismo fra    e  e quindi fra    e  .

Salvo errori ed omissioni.

Fine. 

Pagina precedente