di 
cerchi 
(appartenenti ad 
)
è diffeomorfo al k-toro 
.E-school di Arrigo
Amadori
Esercizi risolti
Esercizio : G206
Mostrare che la varietà prodotto
di
cerchi
(appartenenti ad )
è diffeomorfo al k-toro
.
Risoluzione :
La struttura differenziabile del k-toro
è mostrata nell'esercizio G203
.
Limitiamo la dimostrazione al caso 
. La generalizzazione per ogni
è evidente.
Introduciamo, per convenienza, la varietà 
, diffeomorfa a 
, indicata dal grafico :
dove le traslazioni vengono effettuate sommando alle
coordinate 
, 
, con 
, 
interi.
Ovviamente, il quadrato 
contiene tutti i rappresentanti di tutte le classi per cui possiamo considerare
ciascun punto del suddetto quadrato come coincidente con la sua classe. "Rappresenteremo" cioè
con il suddetto quadrato.
Graficamente :
(il tratteggio indica che i punti non vengono considerati)
Evidentemente, le classi rappresentate dai punti situati sui lati opposti del quadrato coincidono. Graficamente :
Consideriamo l'applicazione descritta dal grafico :
La classe 
corrisponde
in modo biunivoco a 
. Tale corrispondenza determina un diffeomorfismo fra
e 
e quindi
fra
e .
Salvo errori ed omissioni.
Fine.