E-school  di  Arrigo Amadori

Esercizi risolti 

Esercizio : G205

La bottiglia di Klein come spazio quoziente del toro ordinario rispetto al gruppo  , dove    è la trasformazione antipodale e    è la trasformazione identica.

Risoluzione :

Una classe    , con    appartenente al toro ordinario, è indicata dal grafico :

       

        (proporzioni e prospettive non rigorose)

Mostriamo, con procedimento intuitivo, che l'insieme della classi così formate è diffeomorfo alla bottiglia di Klein.

Ovviamente, il semitoro indicato nel grafico seguente contiene tutti i rappresentanti di tutte le classi per cui possiamo considerare ciascun punto del suddetto semitoro come coincidente con la sua classe.

       

La corrispondenza delle classi poste sui cerchi  ,   è indicata dal grafico :

       

Per portare a coincidere i suddetti cerchi in modo che le classi poste su di essi coincidano correttamente, visti i versi indicati dalle frecce, occorre la seguente sequenza di movimenti :

       

        (disegni di bassa qualità perché eseguiti a mano libera)

Abbiamo così "costruito" la bottiglia di Klein.

Si noti l'evidente auto-intersezione.

Salvo errori ed omissioni.

Fine. 

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