, dove 
è
la trasformazione antipodale e 
è la trasformazione identica.E-school di Arrigo
Amadori
Esercizi risolti
Esercizio : G205
La bottiglia di Klein come
spazio quoziente del toro ordinario
rispetto al gruppo
, dove è
la trasformazione antipodale e
è la trasformazione identica.
Risoluzione :
Una classe 
, con 
appartenente al toro ordinario, è indicata dal grafico :
(proporzioni e prospettive non rigorose)
Mostriamo, con procedimento intuitivo, che l'insieme della classi così formate è diffeomorfo alla bottiglia di Klein.
Ovviamente, il semitoro indicato nel grafico seguente contiene tutti i rappresentanti di tutte le classi per cui possiamo considerare ciascun punto del suddetto semitoro come coincidente con la sua classe.
La corrispondenza delle classi poste sui cerchi 
, 
è indicata
dal grafico :
Per portare a coincidere i suddetti cerchi in modo che le classi poste su di essi coincidano correttamente, visti i versi indicati dalle frecce, occorre la seguente sequenza di movimenti :
(disegni di bassa qualità perché eseguiti a mano libera)
Abbiamo così "costruito" la bottiglia di Klein.
Si noti l'evidente auto-intersezione.
Salvo errori ed omissioni.
Fine.