E-school  di  Arrigo Amadori

Esercizi risolti 

Esercizio : G204

Il nastro di Möbius come spazio quoziente del cilindro  rispetto al gruppo  , dove    è la trasformazione antipodale e    è la trasformazione identica.

Risoluzione :

Una classe    , con    appartenente al cilindro, è indicata dal grafico :

       

        (proporzioni e prospettive non rigorose)

Mostriamo, con procedimento intuitivo, che l'insieme della classi così formate è diffeomorfo al nastro di Möbius.

Ovviamente, il semicilindro indicato in colore nel grafico seguente contiene tutti i rappresentanti di tutte le classi per cui possiamo considerare ciascun punto del suddetto semicilindro come coincidente con la sua classe.

       

Evidentemente, le classi rappresentate dai punti situati sui lati opposti  e  e da versi opposti coincidono. Graficamente :

       

In particolare, il punto    coincide col punto    ed il punto    con  (anche se abbiamo inizialmente posto  , possiamo estendere il ragionamento a questi punti) :

       

Rappresenteremo in definitiva questa corrispondenza "incrociata" di punti nel seguente modo :

       

E' intuitivo immaginare di "deformare" con continuità il semicilindro facendo coincidere alla fine i punti    con    e    con  . In questo modo abbiamo ottenuto il nastro di Möbius :

       

Salvo errori ed omissioni.

Fine. 

Pagina precedente