rispetto al gruppo 
, dove 
è
la trasformazione antipodale e 
è la trasformazione identica.E-school di Arrigo
Amadori
Esercizi risolti
Esercizio : G204
Il nastro di Möbius come spazio quoziente del cilindro
rispetto al gruppo
, dove è
la trasformazione antipodale e
è la trasformazione identica.
Risoluzione :
Una classe 
, con 
appartenente al cilindro, è indicata dal grafico :
(proporzioni e prospettive non rigorose)
Mostriamo, con procedimento intuitivo, che l'insieme della classi così formate è diffeomorfo al nastro di Möbius.
Ovviamente, il semicilindro indicato in colore nel grafico seguente contiene tutti i rappresentanti di tutte le classi per cui possiamo considerare ciascun punto del suddetto semicilindro come coincidente con la sua classe.
Evidentemente, le classi rappresentate dai punti situati sui
lati opposti 
e 
e da versi
opposti coincidono. Graficamente :
In particolare, il punto 
coincide col punto 
ed il punto 
con 
(anche se
abbiamo inizialmente posto 
, possiamo estendere il ragionamento a questi punti) :
Rappresenteremo in definitiva questa corrispondenza "incrociata" di punti nel seguente modo :
E' intuitivo immaginare di "deformare" con continuità
il semicilindro facendo coincidere alla fine i punti
con
e
con . In questo
modo abbiamo ottenuto il nastro di Möbius :
Salvo errori ed omissioni.
Fine.