E-school  di  Arrigo Amadori

Esercizi risolti 

Esercizio : G203

Il k-toro    come spazio quoziente  dove    è il gruppo delle traslazioni intere.

Risoluzione :

L'azione di    su    è data da :

          dove   .

L'azione di    è propriamente discontinua.

Consideriamo lo spazio quoziente  formato dalle classi di equivalenza :

        .

Poniamo :

         

e chiamiamolo k-toro.

Sull'insieme    è possibile costruire una struttura differenziabile tramite l'operatore di proiezione :

         

essendo  . Non riportiamo qui la dimostrazione rigorosa di ciò in quanto intuitivamente evidente.

Mostreremo, invece, sempre a livello intuitivo, il caso  che chiarirà il perché del nome di k-toro dato a questa varietà.

Le classi che si deducono dall'azione di    su   sono indicabili graficamente nel seguente modo :

       

Dato un punto    di  , la classe    è indicata dalle frecce.

Ovviamente, il quadrato  contiene tutti i rappresentanti di tutte le classi per cui possiamo considerare ciascun punto del suddetto quadrato come coincidente con la sua classe. "Rappresenteremo" cioè    con il suddetto quadrato.

Graficamente :

        

    (il tratteggio indica che i punti non vengono considerati)

Evidentemente, le classi rappresentate dai punti situati sui lati opposti (così come indicato nel grafico seguente) del quadrato coincidono. Graficamente :

       

Questo fatto può essere utilizzato per la seguente costruzione :

       

La varietà    è quindi diffeomorfa al toro ordinario di  di equazione :

        .

Salvo errori ed omissioni.

Fine. 

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