come spazio quoziente 
dove 
è il gruppo delle traslazioni intere.E-school di Arrigo
Amadori
Esercizi risolti
Esercizio : G203
Il k-toro
come spazio quoziente
dove
è il gruppo delle traslazioni intere.
Risoluzione :
L'azione di
su 
è data
da :
dove 
.
L'azione di
è propriamente discontinua.
Consideriamo lo spazio quoziente
formato dalle classi di equivalenza :
.
Poniamo :
e chiamiamolo k-toro.
Sull'insieme
è possibile costruire una struttura differenziabile tramite l'operatore di
proiezione :
essendo 
. Non riportiamo qui la dimostrazione rigorosa di ciò in quanto intuitivamente
evidente.
Mostreremo, invece, sempre a livello intuitivo, il caso 
che chiarirà il perché del nome di k-toro dato a questa varietà.
Le classi che si deducono dall'azione di
su 
sono
indicabili graficamente nel seguente modo :
Dato un punto 
di , la
classe 
è
indicata dalle frecce.
Ovviamente, il quadrato 
contiene tutti i rappresentanti di tutte le classi per cui possiamo considerare
ciascun punto del suddetto quadrato come coincidente con la sua classe. "Rappresenteremo" cioè 
con il suddetto quadrato.
Graficamente :
(il tratteggio indica che i punti non vengono considerati)
Evidentemente, le classi rappresentate dai punti situati sui lati opposti (così come indicato nel grafico seguente) del quadrato coincidono. Graficamente :
Questo fatto può essere utilizzato per la seguente costruzione :
La varietà 
è quindi diffeomorfa al toro ordinario di 
di equazione :
.
Salvo errori ed omissioni.
Fine.