.E-school di Arrigo
Amadori
Esercizi risolti
Esercizio : G202
Fornire una ulteriore struttura differenziabile allo spazio reale
proiettivo .
Risoluzione :
L'insieme
delle rette di 
che passano per l'origine può essere pensato come lo spazio quoziente della
sfera unitaria :
tramite la relazione di equivalenza che identifica un
punto 
della sfera con il suo antipodale 
. Indichiamo con 
tale
applicazione antipodale.
Ogni retta che passa per l'origine individua due punti antipodali sulla sfera e questa corrispondenza è ovviamente biunivoca.
Questa idea ci fornisce la possibilità di costruire un'altra
struttura differenziabile sullo spazio
in alternativa a quella mostrata nell'esercizio G201
.
Mostriamo il procedimento nei dettagli limitandoci al caso
di 
utilizzando la sfera 
in 
.
Consideriamo le seguenti parametrizzazioni di
:
(le funzioni vettoriali sono indicate in grassetto)
dove :
e :
.
Graficamente, per quel che riguarda gli insiemi 
, 
, 
:
Le presenti parametrizzazioni soddisfano i requisiti necessari
per costituire una struttura differenziabile di
.
I tre intorni coordinati 
, 
, 
sono semisfere perpendicolari rispettivamente agli assi 
, 
, 
e disposti dalla parte positiva dei suddetti.
I tre intorni coordinati 
, 
, 
sono semisfere perpendicolari rispettivamente agli assi
, ,
e disposti dalla parte negativa dei suddetti.
Le proiezioni ortogonali delle suddette semisfere sui
corrispondenti piani 
, 
, 
determinano le coordinate delle medesime.
Definiamo l'operatore di proiezione :
per cui :
.
Si noti che :
dove 
.
Introduciamo le applicazioni :
(le funzioni vettoriali sono indicate in grassetto)
dove :
.
Poiché queste funzioni, come è facile dimostrare, hanno tutti i requisiti necessari, la famiglia :
è una struttura differenziabile di
.
La generalizzazione a 
è evidente.
Salvo errori ed omissioni.
Fine.