E-school  di  Arrigo Amadori

Esercizi risolti 

Esercizio : G202

Fornire una ulteriore struttura differenziabile allo spazio reale proiettivo  .

Risoluzione :

L'insieme    delle rette di    che passano per l'origine può essere pensato come lo spazio quoziente della sfera unitaria :

         

tramite la relazione di equivalenza che identifica un punto    della sfera con il suo antipodale  . Indichiamo con tale applicazione antipodale. 

Ogni retta che passa per l'origine individua due punti antipodali sulla sfera e questa corrispondenza è ovviamente biunivoca.

Questa idea ci fornisce la possibilità di costruire un'altra struttura differenziabile sullo spazio    in alternativa a quella mostrata nell'esercizio  G201 .

Mostriamo il procedimento nei dettagli limitandoci al caso di    utilizzando la sfera  in  . 

Consideriamo le seguenti parametrizzazioni di    :

          (le funzioni vettoriali sono indicate in grassetto)

dove :

       

e :

        .

Graficamente, per quel che riguarda gli insiemi , ,   :

       

       

       

Le presenti parametrizzazioni soddisfano i requisiti necessari per costituire una struttura differenziabile di   .

I tre intorni coordinati  ,  , sono semisfere perpendicolari rispettivamente agli assi  , , e disposti dalla parte positiva dei suddetti.

I tre intorni coordinati  ,  , sono semisfere perpendicolari rispettivamente agli assi  , , e disposti dalla parte negativa dei suddetti.

Le proiezioni ortogonali delle suddette semisfere sui corrispondenti piani  , ,   determinano le coordinate delle medesime.

Definiamo l'operatore di proiezione :

       

per cui :

        .

Si noti che :

        dove   .

Introduciamo le applicazioni :

          (le funzioni vettoriali sono indicate in grassetto)

dove :

        .

Poiché queste funzioni, come è facile dimostrare, hanno tutti i requisiti necessari, la famiglia :

       

è una struttura differenziabile di  .

La generalizzazione a    è evidente. 

Salvo errori ed omissioni.

Fine. 

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