E-school  di  Arrigo Amadori

Esercizi risolti 

Esercizio : G201

Fornire una struttura differenziabile allo spazio reale proiettivo  .

Risoluzione :

Lo spazio reale proiettivo n-dimensionale    è l'insieme delle rette di    passanti per l'origine, ovvero è l'insieme delle "direzioni" di  .

Dotiamo    di una struttura differenziabile.

Per rendere meno astratta la trattazione, mostriamo nei dettagli il caso .

Consideriamo le rette passanti per l'origine  di  :

       

Una qualunque retta passante per    e per  è associabile alla classe di equivalenza :

        .

Graficamente :

         

Possiamo allora affermare che    è lo spazio quoziente di    rispetto alla relazione di equivalenza  , cioè :

        .

Si osservi che, se  , abbiamo :

         

e se  , abbiamo :

        .

Definiamo i sottoinsiemi di  :

       

e :

        .

Graficamente, per  :

       

e per  :

       

E' evidente che l'insieme    non contiene la classe  , cioè la retta di equazione  , così come l'insieme    non contiene la classe    , cioè la retta  .

Introduciamo le applicazioni :

          dove   

e :

          dove   

(le funzioni  , , sono scritte in "grassetto", per cui non vi è ambiguità con le variabili  , ).

Gli insiemi  ,   possono essere considerati intorni coordinati.

       

Dimostriamo che la famiglia    è una struttura differenziabile per .

Si ha :

        .

Le funzioni  ,   sono biunivoche.

Sia :

        .

Si ha :

         

per cui    non contiene le rette  , .

Gli insiemi  ,   sono evidentemente aperti.

La funzione :

       

indicata dal grafico :

       

è differenziabile così come .

Per questi motivi,   è una struttura differenziabile per lo spazio proiettivo   .

La generalizzazione a    è evidente.

Salvo errori ed omissioni.

Fine. 

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