.E-school di Arrigo
Amadori
Esercizi risolti
Esercizio : G201
Fornire una struttura differenziabile allo spazio reale
proiettivo .
Risoluzione :
Lo spazio reale proiettivo n-dimensionale
è l'insieme delle rette di 
passanti per l'origine, ovvero è l'insieme delle "direzioni" di
.
Dotiamo
di una struttura differenziabile.
Per rendere meno astratta la trattazione, mostriamo nei dettagli
il caso 
.
Consideriamo le rette passanti per l'origine 
di 
:
Una qualunque retta passante per 
e per 
è
associabile alla classe di equivalenza :
.
Graficamente :
Possiamo allora affermare che 
è lo spazio quoziente di 
rispetto alla relazione di equivalenza 
, cioè :
.
Si osservi che, se 
, abbiamo :
e se 
, abbiamo :
.
Definiamo i sottoinsiemi di
:
e :
.
Graficamente, per 
:
e per 
:
E' evidente che l'insieme
non contiene la classe 
, cioè la retta di equazione 
, così come l'insieme
non contiene la classe 
, cioè la retta 
.
Introduciamo le applicazioni :
dove 
e :
dove 
(le funzioni 
, 
, sono scritte in
"grassetto", per cui non vi è ambiguità con le variabili 
, 
).
Gli insiemi
, possono
essere considerati intorni coordinati.
Dimostriamo che la famiglia 
è una struttura differenziabile per
.
Si ha :
.
Le funzioni
, sono
biunivoche.
Sia :
.
Si ha :
per cui 
non contiene le rette
,
.
Gli insiemi 
, 
sono
evidentemente aperti.
La funzione :
indicata dal grafico :
è differenziabile così come 
.
Per questi motivi,
è una struttura differenziabile per lo spazio proiettivo .
La generalizzazione a
è evidente.
Salvo errori ed omissioni.
Fine.