E-school  di  Arrigo Amadori
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Esercizi risolti : varietà differenziabili e metrica riemanniana


Le risoluzioni che seguono, spesso incomplete ed a carattere intuitivo, rappresentano per me, allo stato della mia formazione matematica, una sorta di limite, di frontiera, nella quale mi muovo come un esploratore in una ... jungla misteriosa ... 

La mia speranza, al momento, è di non avere commesso errori troppo gravi ...

Firmato : Arrigo Amadori.

 

  G201 - Fornire una struttura differenziabile allo spazio reale proiettivo  .

 

 

  G202 - Fornire una ulteriore struttura differenziabile allo spazio reale proiettivo  .

 

 

  G203 - Il k-toro    come spazio quoziente  dove    è il gruppo delle traslazioni intere.

 

 

  G204 - Il nastro di Möbius come spazio quoziente del cilindro  rispetto al gruppo  , dove    è la trasformazione antipodale e    è la trasformazione identica.

 

 

  G205 - La bottiglia di Klein come spazio quoziente del toro ordinario rispetto al gruppo  , dove    è la trasformazione antipodale e    è la trasformazione identica.

 

 

  G206 - Mostrare che la varietà prodotto  di    cerchi    (appartenenti ad  ) è diffeomorfo al k-toro  .

 

 

  G207 - Provare che il fibrato tangente    di una varietà differenziabile    è orientabile.

 

 

  G208 - Mostrare che il nastro di Möbius non è orientabile.

 

 

  G209 - Dimostrare che il piano proiettivo    non è orientabile.

 

 

  G210 - Costruire un embedding del piano proiettivo  in  .

 

 

  G211 - Costruire un embedding per la bottiglia di Klein in  .

 

 

  G212 - Il toro piatto.

 

 

  G213 - Dimostrare che la mappa antipodale  , con  , è una isometria di  .

 

 

  G214 - Costruire una metrica riemanniana sullo spazio proiettivo reale    in modo che la proiezione naturale    sia una isometria locale.

 

 

  G215 - Costruire una metrica riemanniana sul k-toro  in modo che la proiezione naturale    data da    , con , sia una isometria locale. Mostrare che, con questa metrica,    è isometrico al toro piatto.

 

 

  G216 - Costruire una immersione isometrica del k-toro piatto  in  .

 

 

  G217 - Una funzione     definita da    , , , è detta funzione affine propria. L'insieme, che chiameremo , di tali funzioni dotato dell'usuale legge di composizione    è un gruppo di Lie. Come varietà differenziabile, è semplicemente il mezzo piano superiore  con la struttura differenziabile indotta da  . Provare che :

   1)   la metrica riemanniana invariante a sinistra di  che nell'elemento neutro  coincide con la metrica euclidea (   ) è data da  (metrica della geometria non euclidea di Lobatchevski)

   2)   ponendo  , , la trasformazione  , , , è una isometria di  .

 

 

  G218 - Provare che le isometrie di  , dotata della metrica indotta, sono le restrizioni a  delle trasformazioni lineari ortogonali di  .

 

 

  G219 - Mostrare che la relazione "   è localmente isometrica a " non è una relazione simmetrica.

 

 

  G220 - Sia  , , una immersione isometrica. La metrica della varietà    sia definita da  . Dedurre la metrica    di  .

 

 

  G221 - Calcolare i di una varietà riemanniana    immersa isometricamente nello spazio euclideo  ,

 

 

  G222 - Si consideri il mezzo piano superiore  dotato della metrica definita da    (metrica della geometria non euclidea di Lobatchevski). Si esegua il trasporto parallelo del vettore    dal punto    lungo la curva  .

 

 

  G223 - Ricavare le formule della derivata covariante per le superficie regolari in  .

 

 

  G224 - Ricavare le geodetiche del mezzo piano superiore dotato della metrica definita da (metrica della geometria non euclidea di Lobatchevski). .

 

 

  G225 - Come nell'esercizio G224 ma con metodi variazionali.

 

 

  G226 - Ricavare le equazioni delle geodetiche e la relazione di Clairaut per le superficie di rivoluzione    con , .

 

 

  G227 - Studiare le geodetiche del paraboloide  .

 

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