E-school  di  Arrigo Amadori

Esercizi risolti 

Esercizio : G9

Si consideri il seguente grafico :

 

  La curva  , per cui il segmento ad essa tangente in un suo punto generico  vale , si chiama trattrice. Ricavare una parametrizzazione di    con  .

Risoluzione :

Sia :

         

la parametrizzazione cercata.

Poiché deve essere  , abbiamo :

         

cioè :

        .

La parametrizzazione diventa allora :

       

ed il suo vettore tangente :

        .

Dovendo essere    tangente a    in  , deve valere :

       

cioè :

         

ovvero :

        .

Si tratta di una equazione differenziale che semplificata diventa :

        .

Separando le variabili ed ulteriormente semplificando, otteniamo :

        .

Integrando, otteniamo :

       

che, con la condizione iniziale  , si riduce a :

        .

La parametrizzazione della trattice cercata è allora :

       

ed il suo vettore tangente :

         .

Si noti che per    si ha un punto singolare.

Il grafico della trattrice è :

       

Salvo errori ed omissioni.

Fine. 

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