E-school di Arrigo
Amadori
Esercizi risolti
Esercizio : G9
Si consideri il seguente grafico :
La curva 
, per cui il segmento 
ad essa tangente in un suo punto generico 
vale 
, si chiama
trattrice. Ricavare una parametrizzazione di
con 
.
Risoluzione :
Sia :
la parametrizzazione cercata.
Poiché deve essere
, abbiamo :
cioè :
.
La parametrizzazione diventa allora :
ed il suo vettore tangente :
.
Dovendo essere
tangente a
in , deve
valere :
cioè :
ovvero :
.
Si tratta di una equazione differenziale che semplificata diventa :
.
Separando le variabili ed ulteriormente semplificando, otteniamo :
.
Integrando, otteniamo :
che, con la condizione iniziale 
, si riduce a :
.
La parametrizzazione della trattice cercata è allora :
ed il suo vettore tangente :
.
Si noti che per 
si ha un punto singolare.
Il grafico della trattrice è :
Salvo errori ed omissioni.
Fine.