E-school di Arrigo
Amadori
Esercizi risolti
Esercizio : G7
Un disco circolare di raggio 
sul piano 
ruota
senza scivolare lungo l'asse 
. La figura descritta da un punto della circonferenza del disco è chiamata
cicloide. a) Ottenere una curva parametrica 
la cui traccia è la cicloide e determinare i suoi punti singolari. b) Calcolare
la lunghezza della cicloide corrispondente ad una completa rotazione del disco.
Risoluzione :
a) Consideriamo il grafico :
Una rotazione del disco di un angolo 
fa sì che il punto 
corrisponda la punto 
. Di conseguenza sarà :
( 
è lungo la circonferenza).
Le coordinate del punto
saranno allora :
per cui una parametrizzazione della cicloide con 
è :
.
Graficamente (nel caso di 
) :
Ricaviamo il vettore tangente alla curva :
.
I punti singolari si ricavano ponendo 
, cioè :
ovvero :
.
Essi corrispondono ai valori del parametro :
con 
intero.
b) L'arco di cicloide corrispondente ad un "giro" completo del disco è :
La lunghezza dell'arco 
è :
.
Questo è un integrale elementare e fornisce il risultato :
.
Salvo errori ed omissioni.
Fine.