E-school  di  Arrigo Amadori

Esercizi risolti 

Esercizio : G7

Un disco circolare di raggio    sul piano  ruota senza scivolare lungo l'asse  . La figura descritta da un punto della circonferenza del disco è chiamata cicloide. a) Ottenere una curva parametrica    la cui traccia è la cicloide e determinare i suoi punti singolari. b) Calcolare la lunghezza della cicloide corrispondente ad una completa rotazione del disco.

Risoluzione :

a) Consideriamo il grafico :

       

Una rotazione del disco di un angolo    fa sì che il punto    corrisponda la punto  . Di conseguenza sarà :

         

(   è lungo la circonferenza).

Le coordinate del punto    saranno allora :

         

per cui una parametrizzazione della cicloide con  è :

        .

Graficamente (nel caso di  ) :

       

Ricaviamo il vettore tangente alla curva :

        .

I punti singolari si ricavano ponendo  , cioè :

       

ovvero :

          .

Essi corrispondono ai valori del parametro :

       

con    intero.

b) L'arco di cicloide corrispondente ad un "giro" completo del disco è : 

       

La lunghezza dell'arco    è :

        .

Questo è un integrale elementare e fornisce il risultato :

        .

Salvo errori ed omissioni.

Fine. 

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