E-school  di  Arrigo Amadori

Esercizi risolti 

Esercizio : G20

Sia     una curva regolare parametrizzata secondo la lunghezza (   è un intervallo aperto di  ) con curvatura  . Mostrare che :

  a) il piano osculatore in    è la posizione limite del piano passante per  quando   

  b) la posizione limite del cerchio passante attraverso   quando    è un cerchio contenuto nel piano osculatore  in  , il centro del quale è sulla retta che contiene    ed il raggio del quale è il raggio di curvatura  ; questo cerchio è detto cerchio osculatore.

Risoluzione :

a) Consideriamo la rappresentazione canonica di    per  :

         

rispetto al triedro di Frenet..

Dovendo fare il limite  , consideriamo la sua approssimazione :

         

che, per comodità, riscriviamo come :

        .

Determiniamo il piano passante per :

        .

Esso passa per l'origine ed è perpendicolare al vettore    che è a sua volta perpendicolare ai vettori  le cui componenti sono :

        .

Determiniamo  . Avremo :

       

ovvero :

       

che, risolto, fornisce :

        .

L'equazione del piano sarà allora :

       

ovvero :

         

cioè :

        .

Facendo il limite    tale piano diventa :

       

ovvero :

        .

Tale piano coincide con il piano formato dai vettori  , quindi è il piano osculatore.

b) Consideriamoci ancora nella situazione di cui sopra e poniamo :

        .

Il cerchio che andiamo cercando, ha il centro sul piano formato dai vettori  , piano che, nel passaggio al limite  , diventa il piano osculatore  . Consideriamo allora il centro    del cerchio già giacente sul piano osculatore. Poniamo quindi :

        .

Deve allora essere :

       

dove con    intendiamo la distanza euclidea.

Avremo allora :

       

che fornisce :

       

da cui si ricava :

        .

Facendo il limite    si ricava :

         

in quanto nel primo caso abbiamo il rapporto fra un infinitesimo di ordine  4  con un infinitesimo di ordine  3  mentre nel secondo caso gli ordini degli infinitesimi sono entrambi  3 . 

In particolare abbiamo :

        .

Salvo errori ed omissioni.

Fine. 

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