E-school  di  Arrigo Amadori

Esercizi risolti 

Esercizio : G19

Sia     una curva regolare parametrizzata secondo la lunghezza (   è un intervallo aperto di  ) . Sia    priva di punti singolari di ordine 1 , ovvero sia  . Determinare la rappresentazione canonica locale di    nell'intorno di  , ovvero ricavare una parametrizzazione di    rispetto al triedro di Frenet in  .

Risoluzione :

Si noti innanzitutto che la scelta di ricavare  la rappresentazione canonica locale  in    non costituisce perdita di generalità. Si può sempre fare corrispondere a    un punto qualsiasi di  .

La base ortonormale di    rispetto alla quale ricaveremo la rappresentazione canonica locale è  , ovvero il triedro di Frenet in  .

Sviluppando    in serie di Taylor otteniamo :

       

dove per il resto    vale :

        .

Poiché :

       

(nella terza relazione abbiamo utilizzato le formule di Frenet), possiamo scrivere :

         

dove tutti i termini sino calcolati in  .

Ora facciamo una rototraslazione degli assi coordinati di    a cui è riferita inizialmente  in modo da farli corrispondere con la nuova base  . 

Avremo perciò, nel nuovo sistema di riferimento di   :

       

ed anche :

        .

La parametrizzazione di    rispetto alla nuova base sarà :

       

dove  .

Salvo errori ed omissioni.

Fine. 

Pagina precedente