E-school di Arrigo
Amadori
Esercizi risolti
Esercizio : G19
Sia 
una curva regolare parametrizzata secondo la lunghezza ( 
è un intervallo aperto di 
)
. Sia 
priva di punti singolari di ordine 1 , ovvero sia 
. Determinare la rappresentazione canonica locale di 
nell'intorno di 
, ovvero ricavare una parametrizzazione di
rispetto al triedro di Frenet in
.
Risoluzione :
Si noti innanzitutto che la scelta di ricavare la
rappresentazione canonica locale in
non costituisce perdita di generalità. Si può sempre fare corrispondere
a un
punto qualsiasi di
.
La base ortonormale di 
rispetto alla quale ricaveremo la rappresentazione canonica locale è 
,
ovvero il triedro di Frenet in
.
Sviluppando
in serie di Taylor otteniamo :
dove per il resto 
vale :
.
Poiché :
(nella terza relazione abbiamo utilizzato le formule di Frenet), possiamo scrivere :
dove tutti i termini sino calcolati in
.
Ora facciamo una rototraslazione degli assi coordinati di
a cui è riferita inizialmente
in modo da farli corrispondere con la nuova base
.
Avremo perciò, nel nuovo sistema di riferimento di
:
ed anche :
.
La parametrizzazione di 
rispetto alla nuova base sarà :
dove 
.
Salvo errori ed omissioni.
Fine.