E-school  di  Arrigo Amadori

Esercizi risolti 

Esercizio : G17

Sia    una curva parametrica regolare (non necessariamente parametrizzata secondo la lunghezza) dove   è un intervallo aperto di  . Sia    una riparametrizzazione di    secondo la lunghezza  misurata da  (   è un intervallo aperto di  ). Sia    la funzione inversa di    e sia  , ecc. .

  a) Provare che   ,     .

  b) Dimostrare che la curvatura di    in    è     .

  c) Dimostrare che la torsione di    in    è    .

  d) Dimostrare che la curvatura di    in  , se    (curva piana  ), è 

Risoluzione :

a) Si ha :

         

da cui si ricava :

        .

Invertendo, si ottiene :

        .

Continuando a derivare,  si ha :

        .

Proseguendo si ricava :

       

cioè :

        .

b) Essendo :

        ,

abbiamo :

        .

La curvatura di    è :

        .

Per esprimere la curvatura in funzione di  , ricaviamo le derivate di    rispetto ad  ed esprimiamole in funzione di  . 

Si ha :

         

e :

       

cioè :

        .

La curvatura diventa allora :

       

essendo    il gramiano dei vettori  , .

Abbiamo così ricavato l'importante formula :

         

che dà la curvatura di una curva in generale non parametrizzata secondo la lunghezza.

c) In generale, per una curva    si ha :

        .

Queste formule ci risulteranno utili in seguito.

Essendo :

        ,

e :

        ,

ricaviamo il vettore binormale.

Si ha :

        .

A causa delle formule ricavate precedentemente, otteniamo :

        .

La torsione è definita da :

        .

Il vettore tangente ed il vettore normale valgono :

          

(non vi è ambiguità nell'uso della lettera  "t"  sia per il parametro che per il vettore tangente)

e :

        .

Calcoliamo ora la derivata del vettore binormale rispetto ad  :

       

(abbiamo omesso i passaggi intermedi che utilizzano anche le formule trovate all'inizio del paragrafo).

Ora sostituiamo nella formula :

       

i valori trovati di    e di  . In questo modo ricaveremo la torsione  .

Abbiano allora :

       

che sintetizzeremo come :

         

e come :

        .

Poiché i vettori  , ,   formano una base ortonormale di  , possiamo scrivere :

        .

Poiché si ha (la dimostrazione è facile) che :

        ,

l'eguaglianza scritta sopra si riduce a :

        .

Sostituendo e semplificando, otteniamo :

       

e :

        .

Uguagliamo, ricaviamo:

       

da cui :

       

da cui :

       

e quindi, sostituendo in  e  e semplificando :

        .

Il denominatore è il gramiano dei vettori   , per cui possiamo scrivere :

        .

Ordinando (per una nota proprietà del determinante) otteniamo infine :

        .

d) Per la curva piana :

          

abbiamo :

          .

A causa della formula ricavata al punto  b) , ricaviamo :

         

dove    è la usuale base canonica di  .

Salvo errori ed omissioni.

Fine. 

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