E-school di Arrigo
Amadori
Esercizi risolti
Esercizio : G17
Sia 
una curva parametrica regolare (non necessariamente parametrizzata secondo la
lunghezza) dove 
è un intervallo aperto di 
. Sia 
una
riparametrizzazione di 
secondo la lunghezza 
misurata da 
( 
è un intervallo aperto di
). Sia 
la
funzione inversa di
e sia 
, 
, ecc. .
a) Provare che 
, 
.
b) Dimostrare che la curvatura di 
in 
è 
.
c) Dimostrare che la torsione di
in
è 
.
d) Dimostrare che la curvatura di
in , se 
(curva piana 
), è 
.
Risoluzione :
a) Si ha :
da cui si ricava :
.
Invertendo, si ottiene :
.
Continuando a derivare, si ha :
.
Proseguendo si ricava :
cioè :
.
b) Essendo :
,
abbiamo :
.
La curvatura di 
è :
.
Per esprimere la curvatura in funzione di 
, ricaviamo le derivate di
rispetto ad 
ed
esprimiamole in funzione di
.
Si ha :
e :
cioè :
.
La curvatura diventa allora :
essendo 
il gramiano dei vettori 
, 
.
Abbiamo così ricavato l'importante formula :
che dà la curvatura di una curva in generale non parametrizzata secondo la lunghezza.
c) In generale, per una curva 
si ha :
.
Queste formule ci risulteranno utili in seguito.
Essendo :
,
e :
,
ricaviamo il vettore binormale.
Si ha :
.
A causa delle formule ricavate precedentemente, otteniamo :
.
La torsione è definita da :
.
Il vettore tangente ed il vettore normale valgono :
(non vi è ambiguità nell'uso della lettera "t" sia per il parametro che per il vettore tangente)
e :
.
Calcoliamo ora la derivata del vettore binormale rispetto
ad :
(abbiamo omesso i passaggi intermedi che utilizzano anche le formule trovate all'inizio del paragrafo).
Ora sostituiamo nella formula :
i valori trovati di 
e di 
. In
questo modo ricaveremo la torsione 
.
Abbiano allora :
che sintetizzeremo come :
e come :
.
Poiché i vettori 
, , 
formano una base ortonormale di 
, possiamo scrivere :
.
Poiché si ha (la dimostrazione è facile) che :
,
l'eguaglianza scritta sopra si riduce a :
.
Sostituendo e semplificando, otteniamo :
e :
.
Uguagliamo, ricaviamo:
da cui :
da cui :
e quindi, sostituendo in 
e 
e
semplificando :
.
Il denominatore è il gramiano dei vettori
, per cui possiamo
scrivere :
.
Ordinando (per una nota proprietà del determinante) otteniamo infine :
.
d) Per la curva piana :
abbiamo :
.
A causa della formula ricavata al punto b) , ricaviamo :
dove 
è la usuale base canonica di
.
Salvo errori ed omissioni.
Fine.