E-school  di  Arrigo Amadori

Esercizi risolti 

Esercizio : G16

La curva    con  è detta catenaria. Calcolare la sua curvatura.

Risoluzione :

Si tenga presente che la curva non è parametrizzata secondo la lunghezza.

Il grafico della curva è :

       

Il vettore tangente è :

        .

Parametrizziamo la catenaria secondo la lunghezza. 

Abbiamo in generale :

         

cioè :

       

ovvero :

        .

Possiamo allora, nel nostro caso, scrivere :

        

da cui si ricava :

        .

Ponendo  , ricaviamo :

         

(NB. A causa di un difetto grafico del software usato per scrivere questa pagina, la funzione "arcosenoiperbolico" non è rappresentata nel modo opportuno. Il modo giusto è evidentemente "t = arcsinh s")

per cui una parametrizzazione della catenaria secondo la lunghezza è :

         

(stessa considerazione di cui sopra).

Ricaviamo di conseguenza :

       

e :

        .

Ricaviamo allora :

        .

Si noti che abbiamo trovato la curvatura della catenaria sia in funzione di    che di  .

Salvo errori ed omissioni.

Fine. 

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