E-school  di  Arrigo Amadori

Esercizi risolti 

Esercizio : G14

Una curva    gode della proprietà che tutte le rette normali ad essa passano per un punto fisso. Dimostrare che tale curva è un arco di circonferenza.

Risoluzione :

Si tenga presente che la curva è parametrizzata secondo la lunghezza.

Se tutte le rette normali ad    passano per il punto fisso  possiamo scrivere :

       

dove    è una apposita funzione scalare.

Derivando, otteniamo :

       

che, a causa delle formule di Frenet, diventa :

       

ovvero :

        .

Essendo  , perché il vettore al primo membro sia nullo, deve essere :

         

che conduce a :

       

con    e    costante non nulla (perché deve essere anche  ).

Poiché , la curva    è una curva piana.

Poiché    è costante ed è  (per ipotesi), abbiamo :

       

che, essendo    costante, vale solo se     è un arco di circonferenza.

Salvo errori ed omissioni.

Fine. 

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