E-school di Arrigo
Amadori
Esercizi risolti
Esercizio : G12
Sia la curva
parametrica 
con 
, 
, 
. Tale curva è
detta elica. a) Mostrare che il parametro 
è la lunghezza della curva. b) Determinare la curvatura e la torsione di 
. c) Determinare il piano osculatore di
. d) Mostrare che le rette che contengono 
(il vettore normale) e passano per 
incontrano l'asse 
sotto un angolo costante pari a 
. e) Mostrare che le rette tangenti ad
formano con l'asse
un angolo costante.
Risoluzione :
Il grafico di
è :
Abbiamo :
e :
.
a) Ricordando che
, si ha :
per cui il parametro
è la lunghezza della curva.
b) Essendo la curva parametrizzata dalla lunghezza, la curvatura è data da :
che risulta costante.
Essendo :
deduciamo che il vettore normale è :
.
Il vettore binormale risulta allora (abbiamo posto 
) :
dove 
indica il prodotto vettoriale e 
è la base canonica di 
.
La derivata del vettore binornale è :
per cui la torsione è :
.
c) Un punto 
del piano osculatore ad
in un suo punto corrispondente ad
è dato da :
con 
per cui si ha (senza semplificare) :
.
d) Si ha :
.
e) Si ha :
.
Salvo errori ed omissioni.
Fine.