E-school  di  Arrigo Amadori

Esercizi risolti 

Esercizio : G12

Sia la curva parametrica    con  , , . Tale curva è detta elica. a) Mostrare che il parametro    è la lunghezza della curva. b) Determinare la curvatura e la torsione di  . c) Determinare il piano osculatore di  . d) Mostrare che le rette che contengono    (il vettore normale) e passano per    incontrano l'asse    sotto un angolo costante pari a  .  e) Mostrare che le rette tangenti ad    formano con l'asse    un angolo costante.

Risoluzione :

Il grafico di    è :

       

Abbiamo :  

       

e :

        .

a) Ricordando che , si ha :

       

per cui il parametro    è la lunghezza della curva.

b) Essendo la curva parametrizzata dalla lunghezza, la curvatura è data da :

       

che risulta costante.

Essendo :

       

deduciamo che il vettore normale è :

        .

Il vettore binormale risulta allora (abbiamo posto  ) : 

         

dove    indica il prodotto vettoriale e    è la base canonica di  .

La derivata del vettore binornale è :

         

per cui la torsione è :

        .

c) Un punto    del piano osculatore ad    in un suo punto corrispondente ad    è dato da :

       

con    per cui si ha (senza semplificare) :

          .

d) Si ha :

        .

e) Si ha :

        .

Salvo errori ed omissioni.

Fine. 

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