NB. In questa sezione, in generale, la curva parametrica indicata con    si intende parametrizzata secondo la lunghezza. 
 

  G1 - Trovare una curva parametrica    la cui traccia è la circonferenza    tale che    "corre" in senso orario lungo la circonferenza con  .

  G2 - Sia    una curva parametrica che non passa per l'origine. Se    è il punto della traccia di    più vicino all'origine e  , mostrare che   è perpendicolare a  .

  G3 - Una curva parametrica   ha la proprietà per cui    per ogni valore del parametro. Cosa si può affermare su   ?

  G4 - Sia    una curva parametrica con    dove    è un intervallo aperto. Sia    un vettore fisso e sia  per ogni  . Sia anche    . Provare che  per ogni  .

  G6 - Mostrare che la retta tangente alla curva parametrica regolare    forma un angolo costante con la retta  .

  G7 - Un disco circolare di raggio    sul piano  ruota senza scivolare lungo l'asse  . La figura descritta da un punto della circonferenza del disco è chiamata cicloide. 

  a) Ottenere una curva parametrica    la cui traccia è la cicloide e determinare i suoi punti singolari. 

  b) Calcolare la lunghezza della cicloide corrispondente ad una completa rotazione del disco.

  G8 - Si consideri il seguente grafico :

  La curva    descritta dal punto    al muoversi della semiretta  si chiama cissoide di Diocle. 

  a) Trovare una sua parametrizzazione con  . 

  b) Provare che il punto  (l'origine) è un punto singolare della cissoide. 

  c) Provare che la retta  è un asintoto della cissoide.

  G9 - Si consideri il seguente grafico :

  La curva  , per cui il segmento ad essa tangente in un suo punto generico  vale , si chiama trattrice. Ricavare una parametrizzazione di    con  .

  G10 - Studiare la curva    con  , . Tale curva, completata considerando la simmetria rispetto alla retta  , si chiama folium di Cartesio.

  G11 - Sia la curva parametrica    con  . 

  a) Mostrare che per  la curva si avvicina all'origine  "spiraleggiando" attorno ad essa (per questo motivo la curva viene chiamata  spirale logaritmica). 

  b) Mostrare che per    si ha    e che la curva ha una lunghezza finita in  .

  G12 - Sia la curva parametrica    con  , , . Tale curva è detta elica. 

  a) Mostrare che il parametro    è la lunghezza della curva. 

  b) Determinare la curvatura e la torsione di  . 

  c) Determinare il piano osculatore di  . 

  d) Mostrare che le rette che contengono    (il vettore normale) e passano per    incontrano l'asse    sotto un angolo costante pari a  .  

  e) Mostrare che le rette tangenti ad    formano con l'asse    un angolo costante.

  G13 - Mostrare che la torsione    di una curva    (parametrizzata secondo la lunghezza) è data da  .

  G14 - Una curva    gode della proprietà che tutte le rette normali ad essa passano per un punto fisso. Dimostrare che tale curva è un arco di circonferenza.

  G15 - Una curva    gode della proprietà che tutte le rette tangenti ad essa passano per un punto fisso. Dimostrare che tale curva è un segmento di retta.

  G16 - La curva    con  è detta catenaria. Calcolare la sua curvatura.

  G17 - Sia    una curva parametrica regolare (non necessariamente parametrizzata secondo la lunghezza) dove   è un intervallo aperto di  . Sia    una riparametrizzazione di    secondo la lunghezza  misurata da  (   è un intervallo aperto di  ). Sia    la funzione inversa di    e sia  ,  , ecc. .

  a) Provare che   ,     .

  b) Dimostrare che la curvatura di    in    è     .

  c) Dimostrare che la torsione di    in    è    .

  d) Dimostrare che la curvatura di    in  , se    (curva piana  ), è  . 

  G18 - Spesso una curva piana è data in coordinate polari come  con  . Mostrare che : 

  a) la lunghezza dell'arco è  (dove il punto denota la derivata prima rispetto a  )

  b) la curvatura è  .

  G19 - Sia     una curva regolare parametrizzata secondo la lunghezza (   è un intervallo aperto di  ) . Sia    priva di punti singolari di ordine 1 , ovvero sia  . Determinare la rappresentazione canonica locale di    nell'intorno di  , ovvero ricavare una parametrizzazione di    rispetto al triedro di Frenet in  .

  G20 - Sia     una curva regolare parametrizzata secondo la lunghezza (   è un intervallo aperto di  ) con curvatura  . Mostrare che :

  a) il piano osculatore in    è la posizione limite del piano passante per  quando   

  b) la posizione limite del cerchio passante attraverso   quando    è un cerchio contenuto nel piano osculatore  in  , il centro del quale è sulla retta che contiene    ed il raggio del quale è il raggio di curvatura  ; questo cerchio è detto cerchio osculatore.

  G21 - Mostrare che la curvatura    della curva parametrica regolare   è la curvatura in    della curva piana  , dove    è la proiezione ortogonale di    sul piano osculatore in  .