E-school  di  Arrigo Amadori
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Esercizi risolti : curve regolari

  

  NB. In questa sezione, in generale, la curva parametrica indicata con    si intende parametrizzata secondo la lunghezza. 
 

  

  G1 - Trovare una curva parametrica    la cui traccia è la circonferenza    tale che    "corra" in senso orario lungo la circonferenza con  .

 

  

  G2 - Sia    una curva parametrica che non passa per l'origine. Se    è il punto della traccia di    più vicino all'origine e  , mostrare che   è perpendicolare a  .

 

  

  G3 - Una curva parametrica   ha la proprietà per cui    per ogni valore del parametro. Cosa si può affermare su   ?

 

  

  G4 - Sia    una curva parametrica con    dove    è un intervallo aperto. Sia    un vettore fisso e sia  per ogni  . Sia anche    . Provare che  per ogni  .

 

  G5 - Sia    una curva parametrica con  . Sia  per ogni  . Mostrare che    è una costante positiva se e solo se    per ogni  .
  

  G6 - Mostrare che la retta tangente alla curva parametrica regolare    forma un angolo costante con la retta  .

 

  

  G7 - Un disco circolare di raggio    sul piano  ruota senza scivolare lungo l'asse  . La figura descritta da un punto della circonferenza del disco è chiamata cicloide. 

  a) Ottenere una curva parametrica    la cui traccia è la cicloide e determinare i suoi punti singolari. 

  b) Calcolare la lunghezza della cicloide corrispondente ad una completa rotazione del disco.

 

  

  G8 - Si consideri il seguente grafico :

 

  La curva    descritta dal punto    al muoversi della semiretta  si chiama cissoide di Diocle. 

  a) Trovare una sua parametrizzazione con 

  b) Provare che il punto  (l'origine) è un punto singolare della cissoide. 

  c) Provare che la retta  è un asintoto della cissoide.

 

  

  G9 - Si consideri il seguente grafico :

 

  La curva  , per cui il segmento ad essa tangente in un suo punto generico  vale , si chiama trattrice. Ricavare una parametrizzazione di    con  .

 

  

  G10 - Studiare la curva    con  , . Tale curva, completata considerando la simmetria rispetto alla retta  , si chiama folium di Cartesio.

 

  

  G11 - Sia la curva parametrica    con 

  a) Mostrare che per  la curva si avvicina all'origine  "spiraleggiando" attorno ad essa (per questo motivo la curva viene chiamata  spirale logaritmica). 

  b) Mostrare che per    si ha    e che la curva ha una lunghezza finita in  .

 

  

  G12 - Sia la curva parametrica    con  , , . Tale curva è detta elica. 

  a) Mostrare che il parametro    è la lunghezza della curva. 

  b) Determinare la curvatura e la torsione di 

  c) Determinare il piano osculatore di 

  d) Mostrare che le rette che contengono    (il vettore normale) e passano per    incontrano l'asse    sotto un angolo costante pari a  .  

  e) Mostrare che le rette tangenti ad    formano con l'asse    un angolo costante.

 

  

  G13 - Mostrare che la torsione    di una curva    (parametrizzata secondo la lunghezza) è data da  .

 

  

  G14 - Una curva    gode della proprietà che tutte le rette normali ad essa passano per un punto fisso. Dimostrare che tale curva è un arco di circonferenza.

 

  

  G15 - Una curva    gode della proprietà che tutte le rette tangenti ad essa passano per un punto fisso. Dimostrare che tale curva è un segmento di retta.

 

  

  G16 - La curva    con  è detta catenaria. Calcolare la sua curvatura.

 

  

  G17 - Sia    una curva parametrica regolare (non necessariamente parametrizzata secondo la lunghezza) dove   è un intervallo aperto di  . Sia    una riparametrizzazione di    secondo la lunghezza  misurata da  (   è un intervallo aperto di  ). Sia    la funzione inversa di    e sia  , ecc. .

  a) Provare che   ,     .

  b) Dimostrare che la curvatura di    in    è     .

  c) Dimostrare che la torsione di    in    è    .

  d) Dimostrare che la curvatura di    in  , se    (curva piana  ), è 

 

  

  G18 - Spesso una curva piana è data in coordinate polari come  con  . Mostrare che : 

  a) la lunghezza dell'arco è  (dove il punto denota la derivata prima rispetto a  )

  b) la curvatura è  .

 

  

  G19 - Sia     una curva regolare parametrizzata secondo la lunghezza (   è un intervallo aperto di  ) . Sia    priva di punti singolari di ordine 1 , ovvero sia  . Determinare la rappresentazione canonica locale di    nell'intorno di  , ovvero ricavare una parametrizzazione di    rispetto al triedro di Frenet in  .

 

  

  G20 - Sia     una curva regolare parametrizzata secondo la lunghezza (   è un intervallo aperto di  ) con curvatura  . Mostrare che :

  a) il piano osculatore in    è la posizione limite del piano passante per  quando   

  b) la posizione limite del cerchio passante attraverso   quando    è un cerchio contenuto nel piano osculatore  in  , il centro del quale è sulla retta che contiene    ed il raggio del quale è il raggio di curvatura  ; questo cerchio è detto cerchio osculatore.

 

  

  G21 - Mostrare che la curvatura    della curva parametrica regolare   è la curvatura in    della curva piana  , dove    è la proiezione ortogonale di    sul piano osculatore in  .

 

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