E-school  di  Arrigo Amadori

Quesiti 

Quesito 003.

Si studi il moto unidimensionale classico di una particella di massa    su cui agisce la forza    , dove  ,  ,  . Le condizioni iniziali sono  , . I valori numerici sono  ,  , .

Soluzione :

L'equazione del moto è evidentemente :

          

che non risolveremo analiticamente.

Siamo in presenza di un sistema conservativo per cui :

          

dove    è l'energia potenziale.

Ricaviamo allora direttamente    risolvendo l'integrale :

        .

Un semplice calcolo ci fornisce :

        .

Poniamo    per cui l'energia potenziale vale :

         .

Si tratta di una funzione dispari il cui grafico, usando i valori numerici indicati nel testo, è :

       

E' immediato ricavare :

        .

A causa delle condizioni iniziali e del fatto che  , l'energia della particella è :

       

dove    è l'energia cinetica.

Abbiamo allora :

        .

Questa è una equazione differenziale risolvibile separando le variabili per cui si ricava direttamente :

         

(il duplice segno  è comprensibile meglio in seguito) che, separando ed integrando, fornisce :

          .

Questa è l'equazione oraria del moto.

Siamo in presenza (fino a prova contraria) di un integrale non elementare che quindi non risolveremo analiticamente. Procediamo invece con alcune considerazioni generali circa questo sistema.

Essendo    ed a causa delle condizioni iniziali, il moto è possibile solo nell'intervallo    e si tratta di un moto oscillatorio. Graficamente :

       

Il periodo di questo moto è dato dall'integrale :

        .

Una simulazione numerica della soluzione dell'equazione del moto fornisce :

        

Salvo errori ed omissioni.

Fine.