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Economia : problema 7

Scambio elementare 4x2 (4 agenti x 2 merci).

Grafico dello scambio :

       


        Preliminari.


Poniamo per comodità : 

        $\Delta a_1 = a_1 - bar a_1$

        $\Delta b_1 = b_1 - bar b_1$

        $\Delta a_2 = a_2 - bar a_2$

        $\Delta b_2 = b_2 - bar b_2$

        $\Delta a_3 = a_3 - bar a_3$

        $\Delta b_3 = b_3 - bar b_3$

        $\Delta a_4 = a_4 - bar a_4$

        $\Delta b_4 = b_4 - bar b_4$.

Poniamo il vincolo di scambio (1) :

        $a_1 > 0$ 

        $b_1 > 0$ 

        $a_2 > 0$ 

        $b_2 > 0$

        $a_3 > 0$ 

        $b_3 > 0$

        $a_4 > 0$ 

        $b_4 > 0$

        $\Delta a_1 \Delta b_1 < 0$ 

        $\Delta a_2 \Delta b_2 < 0$

        $\Delta a_3 \Delta b_3 < 0$ 

        $\Delta a_4 \Delta b_4 < 0$.

Poniamo il vincolo di conservazione (2) :

        $\Delta a_1 + \Delta a_2 + \Delta a_3 + \Delta a_4 = 0$ 

        $\Delta b_1 + \Delta b_2 + \Delta b_3 + \Delta b_4 = 0$.

Introduciamo le funzioni di utilità :

        $u_1 (a_1 , b_1) = u_{1a} (a_1) + u_{1b} (b_1)$  (per agente $1$)

        $u_2 (a_2 , b_2) = u_{2a} (a_2) + u_{2b} (b_2)$  (per agente $2$)

        $u_3 (a_3 , b_3) = u_{3a} (a_3) + u_{3b} (b_3)$  (per agente $3$)

        $u_4 (a_4 , b_4) = u_{4a} (a_4) + u_{4b} (b_4)$  (per agente $4$)

con :

        ${d u_{1a}} / {d a_1} > 0$ , ${d^2 u_{1a}} / {d a_1^2} < 0$

        ${d u_{1b}} / {d b_1} > 0$ , ${d^2 u_{1b}} / {d b_1^2} < 0$

        ${d u_{2a}} / {d a_2} > 0$ , ${d^2 u_{2a}} / {d a_2^2} < 0$

        ${d u_{2b}} / {d b_2} > 0$ , ${d^2 u_{2b}} / {d b_2^2} < 0$

        ${d u_{3a}} / {d a_3} > 0$ , ${d^2 u_{3a}} / {d a_3^2} < 0$

        ${d u_{3b}} / {d b_3} > 0$ , ${d^2 u_{3b}} / {d b_3^2} < 0$

        ${d u_{4a}} / {d a_4} > 0$ , ${d^2 u_{4a}} / {d a_4^2} < 0$

        ${d u_{4b}} / {d b_4} > 0$ , ${d^2 u_{4b}} / {d b_4^2} < 0$.


Determinazione punto marginalista per 4 agenti che scambiano 2 merci.


Agente $1$.

Si cerca il massimo relativo della funzione $u_1 (a_1 , b_1)$ sulla 1-varietà $b_1 - bar b_1 = -p (a_1 - bar a_1)$ dove $p>0$ è il prezzo.

Come già sappiamo (vedi Problema4 ), detto massimo si ha quando :

        $p = {{del u_1}/{del a_1}} / {{del u_1}/{del b_1}}$.

Il punto marginalista :

        $\M\a\r\g_1 : {(a_1 = a_1(p)), (b_1 = b_1(p)):}$ 

per l'agente $1$ (dipendente da $p$) è quindi dato dal sistema :

        ${(p = {{del u_1}/{del a_1}} / {{del u_1}/{del b_1}}), (b_1 - bar b_1 = -p (a_1 - bar a_1)) :}$

ovvero, più convenientemente, da :

        ${(b_1 - bar b_1 = -p (a_1 - bar a_1)), ((b_1 - bar b_1) {del u_1}/{del b_1} = - {del u_1}/{del a_1} (a_1 - bar a_1)) :}$.

Analogamente, per gli altri agenti si ottiene :

        ${(b_2 - bar b_2 = -p (a_2 - bar a_2)), ((b_2 - bar b_2) {del u_2}/{del b_2} = - {del u_2}/{del a_2} (a_2 - bar a_2)) :} => \M\a\r\g_2 : {(a_2 = a_2(p)), (b_2 = b_2(p)):}$

        ${(b_3 - bar b_3 = -p (a_3 - bar a_3)), ((b_3 - bar b_3) {del u_3}/{del b_3} = - {del u_3}/{del a_3} (a_3 - bar a_3)) :} => \M\a\r\g_3 : {(a_3 = a_3(p)), (b_3 = b_3(p)):}$

        ${(b_4 - bar b_4 = -p (a_4 - bar a_4)), ((b_4 - bar b_4) {del u_4}/{del b_4} = - {del u_4}/{del a_4} (a_4 - bar a_4)) :} => \M\a\r\g_4 : {(a_4 = a_4(p)), (b_4 = b_4(p)):}$.

Sostituendo $\M\a\r\g_1$, $\M\a\r\g_2$, $\M\a\r\g_3$, $\M\a\r\g_4$, così trovati nelle equazioni del vincolo di conservazione (bastano le $a_i$ o le $b_i$) si può ricavare il prezzo $p$ con il quale, infine, determinare univocamente i suddetti punti.

Il presente metodo è immediatamente  generalizzabile a $n$ agenti (con $2$ merci).

Fine.