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Economia : problema 6

Scambio elementare 2x2 (2 agenti x 2 merci).

Grafico dello scambio :

       


        Preliminari.


Poniamo per comodità : 

        $\Delta a_1 = a_1 - bar a_1$

        $\Delta b_1 = b_1 - bar b_1$

        $\Delta a_2 = a_2 - bar a_2$

        $\Delta b_2 = b_2 - bar b_2$.

Poniamo il vincolo di scambio (1) :

        $a_1 > 0$ 

        $b_1 > 0$ 

        $a_2 > 0$ 

        $b_2 > 0$

        $\Delta a_1 \Delta b_1 < 0$ 

        $\Delta a_2 \Delta b_2 < 0$.

Poniamo il vincolo di conservazione (2) :

        $\Delta a_1 + \Delta a_2 = 0$ 

        $\Delta b_1 + \Delta b_2 = 0$.

Introduciamo le funzioni di utilità :

        $u_1 (a_1 , b_1) = u_{1a} (a_1) + u_{1b} (b_1)$  (per agente $1$)

        $u_2 (a_2 , b_2) = u_{2a} (a_2) + u_{2b} (b_2)$  (per agente $2$)

con :

        ${d u_{1a}} / {d a_1} > 0$ , ${d^2 u_{1a}} / {d a_1^2} < 0$

        ${d u_{1b}} / {d b_1} > 0$ , ${d^2 u_{1b}} / {d b_1^2} < 0$

        ${d u_{2a}} / {d a_2} > 0$ , ${d^2 u_{2a}} / {d a_2^2} < 0$

        ${d u_{2b}} / {d b_2} > 0$ , ${d^2 u_{2b}} / {d b_2^2} < 0$.

Sia $M^4$ lo spazio delle merci di coordinate $(a_1, b_1, a_2, b_2)$.


Luogo $T_1$ dei punti di tangenza fra le rette passanti per $(bar a_1, bar b_1)$ e le curve $u_1 (a_1 , b_1) - u_1 (bar a_1 , bar b_1) = k$.

Luogo $T_2$ dei punti di tangenza fra le rette passanti per $(bar a_2, bar b_2)$ e le curve $u_2 (a_2 , b_2) - u_2 (bar a_2 , bar b_2) = k$.


Consideriamo le famiglie di curve $\gamma_{1_k}$ e $\gamma_{2_k}$ definite rispettivamente come :

        $u_1 (a_1 , b_1) - u_1 (bar a_1 , bar b_1) = k$

        $u_2 (a_2 , b_2) - u_2 (bar a_2 , bar b_2) = k$

nelle coordinate $(a_1, b_1)$ e con $k>=0$.

Per l'agente $1$ consideriamo $\gamma_{1_k}$ ed il grafico :

       

La retta $t_k$ passa per il punto $(bar a_1, bar b_1)$ ed è tangente nel punto $P_k(bar bar a_1, bar bar b_1)$ alla curva $\gamma_{1_k}$ (per un dato $k$)

Troviamo il luogo $T_1$ dei punti $P_k$ al variare di $k$.

Si deve avere :

        ${(u_1(bar bar a_1, bar bar b_1) - u_1(bar a_1, bar b_1) = k), (bar b_1 - bar bar b_1 = - {{del u_1}/{del a_1}(bar bar a_1, bar bar b_1)}/{{del u_1}/{del b_1}(bar bar a_1, bar bar b_1)}  * (bar a_1 - bar bar a_1)):}$.

L'equazione della curva $T_1$ sarà allora :

        $b_1 - bar b_1 = - {{del u_1}/{del a_1}}/{{del u_1}/{del b_1}}  * (a_1 - bar a_1)$.

Analogamente, per l'agente $2$ l'equazione di $T_2$ sarà :

        $b_1 - bar b_1 = - {{del u_2}/{del a_1}}/{{del u_2}/{del b_1}}  * (a_1 - bar a_1)$.

Come risulta evidente (vedi Problema4 ), il punto marginalista $\M\a\r\g$ è l'intersezione di $T_1$ e $T_2$.

Fine.