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Economia : problema 5

Scambio elementare 2x2 (2 agenti x 2 merci).

Grafico dello scambio :

       


        Preliminari.


Poniamo per comodità : 

        $\Delta a_1 = a_1 - bar a_1$

        $\Delta b_1 = b_1 - bar b_1$

        $\Delta a_2 = a_2 - bar a_2$

        $\Delta b_2 = b_2 - bar b_2$.

Poniamo il vincolo di scambio (1) :

        $a_1 > 0$ 

        $b_1 > 0$ 

        $a_2 > 0$ 

        $b_2 > 0$

        $\Delta a_1 \Delta b_1 < 0$ 

        $\Delta a_2 \Delta b_2 < 0$.

Poniamo il vincolo di conservazione (2) :

        $\Delta a_1 + \Delta a_2 = 0$ 

        $\Delta b_1 + \Delta b_2 = 0$.

Introduciamo le funzioni di utilità :

        $u_1 (a_1 , b_1) = u_{1a} (a_1) + u_{1b} (b_1)$  (per agente $1$)

        $u_2 (a_2 , b_2) = u_{2a} (a_2) + u_{2b} (b_2)$  (per agente $2$)

con :

        ${d u_{1a}} / {d a_1} > 0$ , ${d^2 u_{1a}} / {d a_1^2} < 0$

        ${d u_{1b}} / {d b_1} > 0$ , ${d^2 u_{1b}} / {d b_1^2} < 0$

        ${d u_{2a}} / {d a_2} > 0$ , ${d^2 u_{2a}} / {d a_2^2} < 0$

        ${d u_{2b}} / {d b_2} > 0$ , ${d^2 u_{2b}} / {d b_2^2} < 0$.

Sia $M^4$ lo spazio delle merci di coordinate $(a_1, b_1, a_2, b_2)$.


Ulteriore definizione della curva di equilibrio $E$.


La precedente definizione di $E$ è alla pagina :

        Problema4.htm .

Richiamiamo le equazioni :

        $u_1 (a_1 , b_1) - u_1 (bar a_1 , bar b_1) = 0$

        $u_2 (a_2 , b_2) - u_2 (bar a_2 , bar b_2) = 0$

con le condizioni (1) e (2).

Esse rappresentano i punti in cui non vi è variazione di utilità per ciascun agente.

Nelle coordinate $(a_1, b_1)$ esse rappresentano rispettivamente le curve $\gamma_1$ e $\gamma_2$ come nell'esempio grafico :

       

Consideriamo ora la famiglia di curve $\gamma_{2_k}$ definite come :

        $u_2 (a_2 , b_2) - u_2 (bar a_2 , bar b_2) = k$

nelle coordinate $(a_1, b_1)$ e con $k>=0$.

Naturalmente si ha :

        $\gamma_{2_0} = \gamma_2$.

Graficamente :

       

Consideriamo la curva $\gamma_{2_k}$ corrispondente ad un generico valore di $k$ e massimizziamo lungo essa l'incremento di utilità per l'agente $1$ :

        $f = u_1(a_1, b_1) - u_1(bar a_1, bar b_1)$.

Chiamiamo $E_k$ il punto così ricavato. 

Graficamente :

        

Procediamo col metodo dei moltiplicatori di Lagrange introducendo il funzionale :

        $\Phi = f - \lambda [u_2 (a_2 , b_2) - u_2 (bar a_2 , bar b_2) - k]$.

Si deve avere :

        ${del \Phi}/{del a_1} = {del f}/{del a_1} - \lambda {del u_2}/{del a_1} = 0$

         ${del \Phi}/{del b_1} = {del f}/{del b_1} - \lambda {del u_2}/{del b_1} = 0$

cioè :

        ${del u_1}/{del a_1} - \lambda {del u_2}/{del a_1} = 0$

        ${del u_1}/{del b_1} - \lambda {del u_2}/{del b_1} = 0$

da cui :

        $\lambda = {{del u_1}/{del a_1}} / {{del u_2}/{del a_1}}$

        $\lambda = {{del u_1}/{del b_1}} / {{del u_2}/{del b_1}}$

e quindi :

        ${{del u_1}/{del a_1}} / {{del u_2}/{del a_1}} = {{del u_1}/{del b_1}} / {{del u_2}/{del b_1}}$

ovvero infine :

        ${del u_1}/{del a_1} {del u_2}/{del b_1} = {del u_1}/{del b_1} {del u_2}/{del a_1}$.

Abbiamo così ritrovato la definizione di $E$ data alla pagina succitata.

Il punto $E_k$ descrive la curva $E$.

Graficamente :

       

Va infine precisato il fatto che, considerando le curve $\gamma_{1_k}$ costruite in modo analogo alle $\gamma_{2_k}$ e l'incremento di utilità per l'agente $2$, si ottiene lo stesso risultato.


Rappresentazioni di $E$.


Con un certo abuso di notazione, ponendo :

        $E(a_1, b_1) = {del u_1}/{del a_1} {del u_2}/{del b_1} - {del u_1}/{del b_1} {del u_2}/{del a_1}$,

indicheremo con $E(a_1, b_1) = 0$ la rappresentazione implicita di $E$. 

La curva $E$ è quindi rappresentata in forma implicita dall'equazione :

        ${del u_1}/{del a_1} {del u_2}/{del b_1} - {del u_1}/{del b_1} {del u_2}/{del a_1} = 0$.

Abusando ancora di notazione, indicheremo, all'occorrenza, anche :

        $b_1 = E(a_1)$

come la rappresentazione esplicita di $E$.

La curva di equilibrio $E$ dipende dalle funzioni di utilità e dai totali delle dotazioni iniziali $bar a_1 + bar a_2$ e $bar b_1 + bar b_2$.

       

Vengono illustrate ora alcune importanti proprietà di $E$.


$E$ è crescente.


Calcoliamo le derivate parziali di $E(a_1, b_1)$.

Si ha :

        ${del E}/{del a_1} = {del^2 u_1}/{del a_1^2} {del u_2}/{del b_1} + {del u_1}/{del a_1} {del^2 u_2}/{del a_1 del b_1} - {del^2 u_1}/{del a_1 del b_1} {del u_2}/{del a_1} - {del u_1}/{del b_1} {del^2 u_2}/{del a_1^2}$

        ${del E}/{del b_1} = {del^2 u_1}/{del a_1 del b_1} {del u_2}/{del b_1} + {del u_1}/{del a_1} {del^2 u_2}/{del b_1^2} - {del^2 u_1}/{del b_1^2} {del u_2}/{del a_1} - {del u_1}/{del b_1} {del^2 u_2}/{del a_1 del b_1}$.

A causa delle condizioni poste per ipotesi alle definizioni delle funzioni di utilità, possiamo scrivere :

        ${del E}/{del a_1} = {del^2 u_1}/{del a_1^2} {del u_2}/{del b_1} - {del u_1}/{del b_1} {del^2 u_2}/{del a_1^2} > 0$

        ${del E}/{del b_1} = {del u_1}/{del a_1} {del^2 u_2}/{del b_1^2} - {del^2 u_1}/{del b_1^2} {del u_2}/{del a_1} < 0$.

Lungo $E$ si ha :

        ${db_1}/{da_1} = - {{del E}/{del a_1}}/{{del E}/{del b_1}}$

per cui si deduce che :

        ${db_1}/{da_1} > 0$.

A causa di questo risultato, $E$ è crescente.


L'incremento di utilità dell'agente $1$ è crescente lungo $E$.

L'incremento di utilità dell'agente $2$ è decrescente lungo $E$.


Consideriamo il grafico :

       

e l'incremento di utilità per l'agente $1$ :

        $f_1 = u_1(a_1, b_1) - u_1(bar a_1, bar b_1)$.

Si ha :

        ${d f_1}/{d a_1} = {del u_1}/{del a_1} + {del u_1}/{del b_1}{d b_1}/{d a_1} > 0$.

Per questo, $f_1$ è crescente lungo $E$ (da $A$ a $B$) per cui si avrà di conseguenza che $f_1(B)$ rappresenta il massimo assoluto di $f_1$ condizionato da $E$ (da $A$ a $B$). Si noti che $f_1(A) = 0$.

Analogamente, per l'agente $2$ l'incremento di utilità è :

        $f_2 = u_2(a_2, b_2) - u_2(bar a_2, bar b_2)$.

Avremo perciò :

        ${d f_2}/{d a_1} = {del u_2}/{del a_1} + {del u_2}/{del b_1}{d b_1}/{d a_1} = - {del u_2}/{del a_2} - {del u_2}/{del b_2}{d b_1}/{d a_1} < 0$

da cui si deduce che $f_2$ è decrescente lungo $E$ (da $A$ a $B$). Di conseguenza, $f_2(A)$ rappresenta il massimo assoluto di $f_2$ condizionato da $E$ (da $A$ a $B$). Si noti che $f_2(B) = 0$.

Fine.