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Economia : problema 4

Scambio elementare 2x2 (2 agenti x 2 merci).

Grafico dello scambio :

       


        Preliminari.


Poniamo per comodità : 

        $\Delta a_1 = a_1 - bar a_1$

        $\Delta b_1 = b_1 - bar b_1$

        $\Delta a_2 = a_2 - bar a_2$

        $\Delta b_2 = b_2 - bar b_2$.

Poniamo il vincolo di scambio (1) :

        $a_1 > 0$ 

        $b_1 > 0$ 

        $a_2 > 0$ 

        $b_2 > 0$

        $\Delta a_1 \Delta b_1 < 0$ 

        $\Delta a_2 \Delta b_2 < 0$.

Poniamo il vincolo di conservazione (2) :

        $\Delta a_1 + \Delta a_2 = 0$ 

        $\Delta b_1 + \Delta b_2 = 0$.

Introduciamo le funzioni di utilità :

        $u_1 (a_1 , b_1) = u_{1a} (a_1) + u_{1b} (b_1)$  (per agente $1$)

        $u_2 (a_2 , b_2) = u_{2a} (a_2) + u_{2b} (b_2)$  (per agente $2$)

con :

        ${d u_{1a}} / {d a_1} > 0$ , ${d^2 u_{1a}} / {d a_1^2} < 0$

        ${d u_{1b}} / {d b_1} > 0$ , ${d^2 u_{1b}} / {d b_1^2} < 0$

        ${d u_{2a}} / {d a_2} > 0$ , ${d^2 u_{2a}} / {d a_2^2} < 0$

        ${d u_{2b}} / {d b_2} > 0$ , ${d^2 u_{2b}} / {d b_2^2} < 0$.

Sia $M^4$ lo spazio delle merci di coordinate $(a_1, b_1, a_2, b_2)$.


Punti di equilibrio e linea di equilibrio $E$


Consideriamo le equazioni :

        $u_1 (a_1 , b_1) - u_1 (bar a_1 , bar b_1) = 0$

        $u_2 (a_2 , b_2) - u_2 (bar a_2 , bar b_2) = 0$

con le condizioni (1) e (2).

Esse rappresentano i punti in cui non vi è variazione di utilità per ciascun agente.

Nelle coordinate $(a_1, b_1)$ esse rappresentano rispettivamente le curve $\gamma_1$ e $\gamma_2$ come nell'esempio grafico :

       

Si tratta di curve le cui proprietà sono illustrate nella pagina :

        ../Miscellanea/3/Sist1EconElemDiScamb.htm .

Per il teorema di Dini si ha :

        per $\gamma_1$ :

            ${d b_1}/{d a_1}(bar a_1) = - {{del u_1}/{del a_1}(bar a_1 , bar b_1) }/{{del u_1}/{del b_1}(bar a_1 , bar b_1) }$

        per $\gamma_2$ :

            ${d b_1}/{d a_1}(bar a_1) = - {{del u_2}/{del a_1} (bar a_1 , bar b_1) }/{{del u_2}/{del b_1} (bar a_1 , bar b_1) } = - {-{del u_2}/{del a_2}(bar a_2 , bar b_2) }/{-{del u_2}/{del b_2}(bar a_2 , bar b_2) } = - {{del u_2}/{del a_2}(bar a_2 , bar b_2) }/{{del u_2}/{del b_2} (bar a_2 , bar b_2) }$.

L'uguaglianza delle due derivate, cioè :

        $- {{del u_1}/{del a_1}(bar a_1 , bar b_1) }/{{del u_1}/{del b_1}(bar a_1 , bar b_1) } =  - {{del u_2}/{del a_1} (bar a_1 , bar b_1) }/{{del u_2}/{del b_1} (bar a_1 , bar b_1) }$,

comporta la seguente situazione :

       

Diremo che in questo caso il punto $(bar a_1 , bar b_1)$ è un punto di equilibrio.

Chiameremo con $E$ la linea di equilibrio, cioè la curva in coordinate $(a_1 , b_1)$ definita da :

        ${{del u_1}/{del a_1}}/{{del u_1}/{del b_1}} =  {{del u_2}/{del a_1}}/{{del u_2}/{del b_1}}$

cioè da :

        ${del u_1}/{del a_1} {del u_2}/{del b_1} = {del u_2}/{del a_1} {del u_1}/{del b_1}$,

per assegnate funzioni di utilità $u_1(a_1, b_1)$, $u_2(a_2, b_2)$ ed assegnati totali merci $bar a_1 + bar a_2$, $bar b_1 + bar b_2$.

E' chiaro che se il punto iniziale $(bar a_1 , bar b_1)$ è un punto di equilibrio la superficie $S$ (vedi più avanti) contiene il solo punto iniziale per cui non si ha scambio (fermo restando il principio che in uno scambio si debba avere per entrambi gli agenti un aumento di utilità).


Superficie di incremento di utilità $S$


Poniamo il vincolo di incremento di utilità (3) :

        ${(u_1 (a_1 , b_1) - u_1 (bar a_1 , bar b_1) > 0) , (u_2 (a_2 , b_2) - u_2 (bar a_2 , bar b_2) > 0):}$.

Sia $S$ la 2-varietà di $M^4$ definita da (2) :

        ${(\Delta a_1 + \Delta a_2 = 0) , (\Delta b_1 + \Delta b_2 = 0) :}$

con le condizioni (1) e (3).

Ovvero sia :

        $S : {(\Delta a_1 + \Delta a_2 = 0), (\Delta b_1 + \Delta b_2 = 0), (a_1 > 0), (b_1 > 0), (a_2 > 0), (b_2 > 0), (\Delta a_1 \Delta b_1 < 0), (Delta a_2 \Delta b_2 < 0), (u_1 (a_1 , b_1) - u_1 (bar a_1 , bar b_1) > 0), (u_2 (a_2 , b_2) - u_2 (bar a_2 , bar b_2) > 0):}$

La dimostrazione che $S$ non è di area nulla (eccetto il caso in cui $(bar a_1 , bar b_1)$ è un punto di equilibrio) è alla pagina citata. 

Chiamiamo $S$ superficie di incremento di utilità.

Lo scambio deve avvenire all'interno di $S$.

Nelle coordinate $(a_1 , b_1)$, $S$ è delimitata dalle curve $\gamma_1$ e $\gamma_2$ definite sopra.


Linea di pari incremento di utilità $L$


Sia $L$ la 1-varietà di $M^4$ definita da 

        ${(\Delta a_1 + \Delta a_2 = 0) , (\Delta b_1 + \Delta b_2 = 0) , (u_1 (a_1 , b_1) - u_1 (bar a_1 , bar b_1) = u_2 (a_2 , b_2) - u_2 (bar a_2 , bar b_2) ) :}$

con le condizioni (1) e (3).

Ovvero sia :

        $L : {(\Delta a_1 + \Delta a_2 = 0) , (\Delta b_1 + \Delta b_2 = 0), (u_1 (a_1 , b_1) - u_1 (bar a_1 , bar b_1) = u_2 (a_2 , b_2) - u_2 (bar a_2 , bar b_2) ), (a_1 > 0), (b_1 > 0) , (a_2 > 0) , (b_2 > 0), (\Delta a_1 \Delta b_1 < 0), (Delta a_2 \Delta b_2 < 0), (u_1 (a_1 , b_1) - u_1 (bar a_1 , bar b_1) > 0), (u_2 (a_2 , b_2) - u_2 (bar a_2 , bar b_2) > 0) :}$.

Chiamiamo $L$ linea di pari incremento di utilità.


 Massimo pari incremento di utilità $P$


Sia $L_0$ la chiusura di $L$ (indotta dalla topologia naturale di $R^4$).

Allora $L_0$ è un compatto.

Sia $f$ il funzionale continuo :

        $f(a_1, b_1, a_2, b_2) = u_1(a_1, b_1) - u_1(bar a_1, bar b_1)$

definito su $L_0$.

Per il teorema di Weierstrass, $f$ è dotato di massimo (e minimo).

Tale massimo di $f$, che chiamiamo $P$, rappresenta il massimo pari incremento di utilità.

Determinazione di $P$ con il metodo dei moltiplicatori di Lagrange (supponendo che $P$ sia un punto di massimo relativo) massimizzando il funzionale continuo :

        $f = u_1(a_1, b_1) - u_1(bar a_1, bar b_1)$

sul $L_0$.

Per fare questo, introduciamo il funzionale continuo :

        $\Phi = f - \lambda_1 * (a_1 - bar a_1 + a_2 - bar a_2) - \lambda_2 * (b_1 - bar b_1 + b_2 - bar b_2) - \lambda_3 * [u_1(a_1, b_1) - u_1(bar a_1, bar b_1)  +$

        $- u_2(a_2, b_2) + u_2(bar a_2, bar b_2)]$.

Per il metodo dei moltiplicatori di Lagrange, il funzionale $\Phi$ deve avere un punto critico in $P$ per una certa tripla $(\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3)$.

Otteniamo perciò :

        ${({del \Phi} / {del a_1} = {del u_1} / {del a_1} - \lambda_1 * (1) - \lambda_2 * (0) - \lambda_3 * ({del u_1} / {del a_1}) = 0), ({del \Phi} / {del b_1} = {del u_1} / {del b_1} - \lambda_1 * (0) - \lambda_2 * (1) - \lambda_3 * ({del u_1} / {del b_1}) = 0), ({del \Phi} / {del a_2} = 0 - \lambda_1 * (1) - \lambda_2 * (0) - \lambda_3 * (-{del u_2} / {del a_2}) = 0), ({del \Phi} / {del b_2} = 0 - \lambda_1 * (0) - \lambda_2 * (1) - \lambda_3 * (-{del u_2} / {del b_2}) = 0):}$

da cui, dalle ultime due equazioni :

        $\lambda_1 = \lambda_3 {del u_2}/{del a_2}$

        $\lambda_2 = \lambda_3 {del u_2}/{del b_2}$

e, sostituendo nelle prime due :

        $\lambda_3 = {{del u_1} / {del a_1}} / {{del u_1} / {del a_1} + {del u_2} / {del a_2}}$

        $\lambda_3 = {{del u_1} / {del b_1}} / {{del u_1} / {del b_1} + {del u_2} / {del b_2}}$.

Deve perciò essere :

        ${{del u_1}/{del a_1}} / {{del u_1} / {del a_1} + {del u_2} / {del a_2}} = {{del u_1} / {del b_1}} / {{del u_1} / {del b_1} + {del u_2} / {del b_2}}$

ovvero :

        ${del u_1}/{del a_1} {del u_1} / {del b_1} + {del u_1}/{del a_1} {del u_2} / {del b_2} =  {del u_1}/{del b_1} {del u_1} / {del a_1} + {del u_1}/{del b_1} {del u_2} / {del a_2}$.

Il punto $P$ vieni quindi definito da :

        $P : {(\Delta a_1 + \Delta a_2 = 0) , (\Delta b_1 + \Delta b_2 = 0), (u_1 (a_1 , b_1) - u_1 (bar a_1 , bar b_1) = u_2 (a_2 , b_2) - u_2 (bar a_2 , bar b_2) ), ({del u_1}/{del a_1} {del u_1} / {del b_1} + {del u_1}/{del a_1} {del u_2} / {del b_2} =  {del u_1}/{del b_1} {del u_1} / {del a_1} + {del u_1}/{del b_1} {del u_2} / {del a_2}) :}$

con le condizioni (1) e (3).


Il punto $P$ è un punto di equilibrio


Poniamo :

        $P(bar bar a_1, bar bar b_1)$.

Lo scambio $(bar a_1, bar b_1) -> (bar bar a_1, bar bar b_1)$ è rappresentato dal grafico :

       

Dimostriamo che $P$ è un punto di equilibrio cioè che il sistema raggiunge l'equilibrio che non dà addito ad ulteriori scambi.

Il punto $P$ soddisfa l'equazione :

        ${{del u_1}/{del a_1}} / {{del u_1} / {del a_1} + {del u_2} / {del a_2}} = {{del u_1} / {del b_1}} / {{del u_1} / {del b_1} + {del u_2} / {del b_2}}$.

Poniamo :

        $D_1 = - {{del u_1}/{del a_1}(bar bar a_1 , bar bar b_1) }/{{del u_1}/{del b_1}(bar bar a_1 , bar bar b_1) }$

        $D_2 =  - {{del u_2}/{del a_1} (bar bar a_1 , bar bar b_1) }/{{del u_2}/{del b_1} (bar bar a_1 , bar bar b_1) } = - {-{del u_2}/{del a_2} (bar bar a_2 , bar bar b_2) }/{-{del u_2}/{del b_2} (bar bar a_2 , bar bar b_2) } = - {{del u_2}/{del a_2} (bar bar a_2 , bar bar b_2) }/{{del u_2}/{del b_2} (bar bar a_2 , bar bar b_2) }$,

essendo :

        $bar bar a_1 - bar a_1 +  bar bar a_2 - bar a_2 = 0$

        $bar bar b_1 - bar b_1 +  bar bar b_2 - bar b_2 = 0$,

e :

        ${del u_2}/{del a_1} = {del u_2}/{del a_2}{del a_2}/{del a_1} = - {del u_2}/{del a_2}$

        ${del u_2}/{del b_1} = {del u_2}/{del b_2}{del b_2}/{del b_1} = - {del u_2}/{del b_2}$.

Omettendo di scrivere per comodità le coordinate dove si calcolano le derivate, ma sottintendendo che siamo sempre in $P$, possiamo scrivere :

        ${del u_1}/{del a_1} = -D_1 {del u_1}/{del b_1}$

        ${del u_2}/{del a_2} = -D_2 {del u_2}/{del b_2}$.

Sostituendo nella ${{del u_1}/{del a_1}} / {{del u_1} / {del a_1} + {del u_2} / {del a_2}} = {{del u_1} / {del b_1}} / {{del u_1} / {del b_1} + {del u_2} / {del b_2}}$ si ottiene :

        ${D_1 {del u_1}/{del b_1}} / {D_1 {del u_1} / {del b_1} + D_2 {del u_2} / {del b_2}} = {{del u_1} / {del b_1}} / {{del u_1} / {del b_1} + {del u_2} / {del b_2}}$

che è verificata per :

        $D_1 = D_2$.

Questo dimostra che $P$ è un punto di equilibrio.


Confronto con il modello marginalista


I modello marginalista consiste in quanto segue.

Agente $1$ :

Si cerca il massimo relativo della funzione $u_1(a_1, b_1)$ sulla 1-varietà $b_1 - bar b_1 = - p (a_1 - bar a_1)$ dove $p > 0$ è una costante detta prezzo.

Graficamente :

       

Applicando il metodo dei moltiplicatore di Lagrange si introduce il funzionale :

        $\Phi = u_1(a_1, b_1) - \lambda [b_1 - bar b_1 + p (a_1 - bar a_1)]$

il cui punto critico coincide con il massimo cercato. Tale punto critico è definito da :

        ${del \Phi}/{del a_1} = {del u_1}/{del a_1} - \lambda p = 0$

        ${del \Phi}/{del b_1} = {del u_1}/{del b_1} - \lambda = 0$.

Da questa equazione si ottiene :

        $\lambda = {del u_1}/{del b_1}$

che, sostituendo nella prima, fornisce :

        $p = {{del u_1}/{del a_1}}/{{del u_1}/{del b_1}}$.

Agente $2$ :

Si cerca il massimo relativo della funzione $u_2(a_2, b_2)$ sulla 1-varietà $b_2 - bar b_2 = - p (a_2 - bar a_2)$ dove $p > 0$ è una costante detta prezzo.

Graficamente :

       

Con procedimento analogo si ottiene :

        $p = {{del u_2}/{del a_2}}/{{del u_2}/{del b_2}}$.

Agente $1$ e $2$.

Confrontando, si deve avere :

        ${{del u_1}/{del a_1}}/{{del u_1}/{del b_1}} = {{del u_2}/{del a_2}}/{{del u_2}/{del b_2}}$

da cui :

        ${{del u_1}/{del a_1}}/{{del u_1}/{del b_1}} = {-{del u_2}/{del a_1}}/{-{del u_2}/{del b_1}} = {{del u_2}/{del a_1}}/{{del u_2}/{del b_1}}$.

Nelle coordinate $(a_1, b_1)$, il punto ottenuto dallo scambio così definito (secondo il modello marginalista) e che chiamiamo $\M\a\r\g$ è dato dal sistema :

        ${({{del u_1}/{del a_1}}/{{del u_1}/{del b_1}} = {{del u_2}/{del a_1}}/{{del u_2}/{del b_1}}), (b_1 - bar b_1 = - {{del u_1}/{del a_1}}/{{del u_1}/{del b_1}} (a_1 - bar a_1)):}$

ovvero da :

        ${({del u_1}/{del a_1} {del u_2}/{del b_1} = {del u_2}/{del a_1} {del u_1}/{del b_1}), ({del u_1}/{del b_1} (b_1 - bar b_1) = - {del u_1}/{del a_1} (a_1 - bar a_1)):}$.

Come risulta evidente, il punto $\M\a\r\g$ è un punto di equilibrio, per cui, dopo lo scambio non ne possono avvenire altri (con le medesime condizioni).

Il punto $\M\a\r\g$ non coincide con il punto $P$.

Fine.