E-school  di  Arrigo Amadori (meglio con Mozilla Firefox) (per le formule MathML)

Economia : programma di calcolo numerico 1


        Modello numerico in rappresentazione $(a_1, b_1)$.


Consideriamo le seguenti funzioni di utilità :

        $u_1 = k_1 sqrt(a_1) + k_2 sqrt(b_1)$

        $u_2 = k_3 sqrt(a_2) + k_4 sqrt(b_2)$.

Le derivate risultano :

        ${del u_1}/{del a_1} = k_1 / {2 sqrt(a_1)}$

        ${del u_1}/{del b_1} = k_2 / {2 sqrt(b_1)}$

        ${del u_2}/{del a_2} = k_3 / {2 sqrt(a_2)}$

        ${del u_2}/{del b_2} = k_4 / {2 sqrt(b_2)}$.

Definizione di $E$ :

        ${del u_1}/{del a_1} {del u_2}/{del b_1} = {del u_2}/{del a_1} {del u_1}/{del b_1}$

ovvero, nel presente caso :

        $k_1 k_4 sqrt(b_1) sqrt(bar a_1 - a_1 + bar a_2) = k_2 k_3 sqrt(a_1) sqrt(bar b_1 - b_1 + bar b_2)$.

Definizione di $S$ :

        $S : {(\Delta a_1 + \Delta a_2 = 0), (\Delta b_1 + \Delta b_2 = 0), (u_1 (a_1 , b_1) - u_1 (bar a_1 , bar b_1) > 0), (u_2 (a_2 , b_2) - u_2 (bar a_2 , bar b_2) > 0):}$

ovvero, nel presente caso :

         $S : {(a_1 - bar a_1 + a_2 - bar a_2 = 0), (b_1 - bar b_1 + b_2 - bar b_2 = 0), (k_1 sqrt(a_1) + k_2 sqrt(b_1) - k_1 sqrt(bar a_1) - k_2 sqrt(bar b_1) > 0), (k_3 sqrt(a_2) + k_4 sqrt(b_2) - k_3 sqrt(bar a_2) - k_4 sqrt(bar b_2) > 0):}$

da cui :

        $S : {(a_2 = bar a_1 - a_1 + bar a_2 ), (b_2 = bar b_1 - b_1 + bar b_2), ( k_1 sqrt(a_1) + k_2 sqrt(b_1) - k_1 sqrt(bar a_1) - k_2 sqrt(bar b_1) > 0), ( k_3 sqrt(a_2) + k_4 sqrt(b_2) - k_3 sqrt(bar a_2) - k_4 sqrt(bar b_2) > 0):}$.

La superficie $S$ è quindi definita nelle coordinate $(a_1, b_1)$ dal sistema :

        $S : {(k_1 sqrt(a_1) + k_2 sqrt(b_1) - k_1 sqrt(bar a_1) - k_2 sqrt(bar b_1) > 0), ( k_3 sqrt(bar a_1 - a_1 + bar a_2) + k_4 sqrt(bar b_1 - b_1 + bar b_2) - k_3 sqrt(bar a_2) - k_4 sqrt(bar b_2) > 0):}$.

Definizione di $L$ :

        $L : {(\Delta a_1 + \Delta a_2 = 0) , (\Delta b_1 + \Delta b_2 = 0), (u_1 (a_1 , b_1) - u_1 (bar a_1 , bar b_1) = u_2 (a_2 , b_2) - u_2 (bar a_2 , bar b_2) ) :}$

ovvero, nel presente caso :

        $L : {(a_2 = bar a_1 - a_1 + bar a_2 ), (b_2 = bar b_1 - b_1 + bar b_2), (k_1 sqrt(a_1) + k_2 sqrt(b_1) - k_1 sqrt(bar a_1) - k_2 sqrt(bar b_1)  = k_3 sqrt(bar a_1 - a_1 + bar a_2) + k_4 sqrt(bar b_1 - b_1 + bar b_2) - k_3 sqrt(bar a_2) - k_4 sqrt(bar b_2)) :}$.

La linea $L$ è quindi definita nelle coordinate $(a_1, b_1)$ dall'equazione :

        $k_1 sqrt(a_1) + k_2 sqrt(b_1) - k_1 sqrt(bar a_1) - k_2 sqrt(bar b_1)  = k_3 sqrt(bar a_1 - a_1 + bar a_2) + k_4 sqrt(bar b_1 - b_1 + bar b_2) - k_3 sqrt(bar a_2) - k_4 sqrt(bar b_2)$.

Definizione di $P$ :

        $P : {(\Delta a_1 + \Delta a_2 = 0) , (\Delta b_1 + \Delta b_2 = 0), (u_1 (a_1 , b_1) - u_1 (bar a_1 , bar b_1) = u_2 (a_2 , b_2) - u_2 (bar a_2 , bar b_2) ), ({del u_1}/{del a_1} {del u_1} / {del b_1} + {del u_1}/{del a_1} {del u_2} / {del b_2} =  {del u_1}/{del b_1} {del u_1} / {del a_1} + {del u_1}/{del b_1} {del u_2} / {del a_2}) :}$

ovvero, nel presente caso :

        $P : {(a_2 = bar a_1 - a_1 + bar a_2 ), (b_2 = bar b_1 - b_1 + bar b_2), (k_1 sqrt(a_1) + k_2 sqrt(b_1) - k_1 sqrt(bar a_1) - k_2 sqrt(bar b_1)  = k_3 sqrt(bar a_1 - a_1 + bar a_2) + k_4 sqrt(bar b_1 - b_1 + bar b_2) - k_3 sqrt(bar a_2) - k_4 sqrt(bar b_2)), (k_1 / sqrt(a_1) * k_2 / sqrt(b_1) + k_1 / sqrt(a_1) * k_4 / sqrt(bar b_1 - b_1 + bar b_2)  = k_2 / sqrt(b_1) * k_1 / sqrt(a_1) + k_2 / sqrt(b_1) * k_3 / sqrt(bar a_1 - a_1 + bar a_2) ) :}$.

Il punto $P$ è quindi definito nelle coordinate $(a_1, b_1)$ dal sistema :

        $P : {(k_1 sqrt(a_1) + k_2 sqrt(b_1) - k_1 sqrt(bar a_1) - k_2 sqrt(bar b_1)  = k_3 sqrt(bar a_1 - a_1 + bar a_2) + k_4 sqrt(bar b_1 - b_1 + bar b_2) - k_3 sqrt(bar a_2) - k_4 sqrt(bar b_2) ), (k_1 / sqrt(a_1) * k_2 / sqrt(b_1) + k_1 / sqrt(a_1) * k_4 / sqrt(bar b_1 - b_1 + bar b_2)  = k_2 / sqrt(b_1) * k_1 / sqrt(a_1) + k_2 / sqrt(b_1) * k_3 / sqrt(bar a_1 - a_1 + bar a_2)) :}$.

Definizione di $\M\a\r\g$ :

        $\M\a\r\g : {({del u_1}/{del a_1} {del u_2}/{del b_1} = {del u_2}/{del a_1} {del u_1}/{del b_1}), ({del u_1}/{del b_1} (b_1 - bar b_1) = - {del u_1}/{del a_1} (a_1 - bar a_1)):}$

ovvero, nel presente caso :

        ${(k_1 k_4 sqrt(b_1) sqrt(bar a_1 - a_1 + bar a_2) = k_2 k_3 sqrt(a_1) sqrt(bar b_1 - b_1 + bar b_2)), (k_2 (b_1 - bar b_1) sqrt(a_1) = - k_1 (a_1 - bar a_1) sqrt(b_1)) :} $.

 


Routine (http://lnx.arrigoamadori.com/CalcoloNumerico/Varie/economia1.php) 


 dotazioni iniziali

 a1-ini = b1-ini = (dotazioni iniziali agente 1)
 a2-ini = b2-ini = (dotazioni iniziali agente 2)

parametri funzioni di utilità

 k1 = k2 = k3 = k4 =  

calibri per L, P, E, Marg

 calibro1 =  (per L)
 calibro2 =  (per P)
 calibro3 =  (per E)
 calibro4 =  (per Marg)

curve u1(a1, b1) - u1(a1ini, b1ini) = k

curve u2(a2, b2) - u2(a2ini, b2ini) = k

 ka  =   kb = (estremi parametro) dk = (incremento parametro)
 
calibro5 =  

luoghi punti tangenza 

fra rette per (a1ini, b1ini) e curve u1(a1, b1) - u1(a1ini, b1ini) = k (T1)

fra rette per (a1ini, b1ini) e curve u2(a2, b2) - u2(a2ini, b2ini) = k (T2)

 calibro6 =  

parametri immagine

 lar =  alt = (larghezza ed altezza immagine in pixel)
 
 xa  =   xb = (estremi asse a1)
 ya  =   yb = (estremi asse b1)


Fine.