E-school  di  Arrigo Amadori

Geometria analitica

Curve in R³


01 – Definizioni.

Consideriamo lo spazio euclideo R³ dotato di un sistema di assi cartesiani ortogonali Oxyz . 
Esso sarà chiamato d’ora in poi più semplicemente spazio cartesiano. Il sistema di due 
superficie :

       

dove   f  e  g   sono due funzioni reali continue definite su un opportuno dominio di   x  , y  
e  z , rappresenta una curva, che è appunto l’intersezione fra le due superficie, i punti 
della quale soddisfano il sistema dato.

Esempio :

          è la circonferenza intersezione della sfera di raggio 2  e centro 
        in  O  con il piano perpendicolare all’asse  Oz  passante per  (0 , 0 , 1) :

       

L’intersezione fra due superficie può dare luogo a più curve distinte. Le curve che non 
interessano sono dette curve residue.

Se una curva giace su di un piano essa viene detta curva piana (come nell’esempio), 
altrimenti viene detta curva sghemba.

02 –Equazione parametrica.

L’equazione di una curva può essere posta nella forma :

       

dove   u  è un parametro reale compreso fra due valori prefissati ( a ≤ u ≤ b , dove a  
può essere anche -∞  e  b  può essere anche  +∞ ) ed   x(u) , y(u) , z(u)  sono tre 
funzioni reali  continue. Una curva così definita si dice espressa in forma parametrica.

Per passare dalla forma parametrica alla forma definita al punto precedente, è sufficiente 
ricavare un parametro (ove possibile) da una delle tre equazione e sostituirlo nelle altre 
due.

Viceversa, per passare alla forma parametrica è sufficiente porre   x = u  e ricavare, se 
possibile, dal sistema  la  y  e la  z  in funzione di  u . Si noti che le forme 
parametriche di una curva sono infinite, in quanto il parametro può essere scelto 
arbitrariamente.

03 – Coordinate curvilinee.

La rappresentazione parametrica di curve e superficie ha importantissime e fondamentali 
implicazioni che costituiscono il punto di partenza per il calcolo tensoriale (detto anche 
calcolo differenziale assoluto). Il calcolo tensoriale, a sua volta, costituisce la base 
matematica di fondamentali teorie fisiche quali la teoria della relatività.

Consideriamo la superficie  S  di equazione parametrica   . Il punto P della 
superficie S corrispondente ai valori   e   dati ai parametri   u  e  v  è rappresentato 
biunivocamente (sotto opportune condizioni) dalla coppia ordinata   . Cioè, le 
coordinate cartesiane di  P ,  , sono determinate dalla coppia    
viceversa in quanto vale   (il viceversa non è vero in generale, ma lo 
diventa prendendo una opportuna restrizione della funzione da    a     rappresentata 
dall’equazione parametrica della superficie).

La coppia    rappresenta allora le coordinate del punto  P  rispetto al sistema 
di coordinate curvilinee  u , v . Le coordinate  u  e  v  sono dette curvilinee perché 
il punto  P  è l’intersezione delle curve    e    di equazioni parametriche    
e    , che sono contenute completamente nella superficie  S , ottenute 
ponendo    e . Graficamente :

       

Esempi di coordinate curvilinee (le coordinate curvilinee sono qui tracciate per punti) :

        - 1 -         sfera :

        

        - 2 -         cilindro :

       

04 – Curve notevoli.

Elenchiamo qui alcune curve notevoli.

        - 1 -         retta

                        l’equazione parametrica di una generica retta è :

                               

        - 2 -         elica circolare

                        l’equazione parametrica dell’elica circolare è :

                               

                        dove il parametro  u  varia da  0  a  +∞ . Il numero  r  rappresenta il 
                        raggio dell’elica ed  2πh  rappresenta il “passo” dell’elica. Graficamente, 
                        nel caso di  r = 1  ed  h = 1/5 :

                       

Fine.

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