Geometria analitica
Curve in R³
01 – Definizioni.
Consideriamo lo spazio euclideo R³ dotato di un sistema di assi cartesiani ortogonali Oxyz .
Esso sarà chiamato d’ora in poi più semplicemente spazio cartesiano. Il sistema di due
superficie :
dove f e g sono due funzioni reali continue definite su un opportuno dominio di x , y
e z , rappresenta una curva, che è appunto l’intersezione fra le due superficie, i punti
della quale soddisfano il sistema dato.
Esempio :
è la circonferenza intersezione della sfera di raggio 2
e centro
in O con il piano perpendicolare all’asse Oz passante per (0 , 0 , 1) :
L’intersezione fra due superficie può dare luogo a più curve distinte. Le curve che non
interessano sono dette curve residue.
Se una curva giace su di un piano essa viene detta curva piana (come nell’esempio),
altrimenti viene detta curva sghemba.
02 –Equazione parametrica.
L’equazione di una curva può essere posta nella forma :
dove u è un parametro reale compreso fra due valori prefissati ( a ≤ u ≤ b , dove a
può essere anche -∞ e b può essere anche +∞ ) ed x(u) , y(u) , z(u) sono tre
funzioni reali continue. Una curva così definita si dice espressa in forma parametrica.
Per passare dalla forma parametrica alla forma definita al punto precedente, è sufficiente
ricavare un parametro (ove possibile) da una delle tre equazione e sostituirlo nelle altre
due.
Viceversa, per passare alla forma parametrica è sufficiente porre x = u e ricavare, se
possibile, dal sistema
la
y e la
z in funzione di
u . Si noti che le forme
parametriche di una curva sono infinite, in quanto il parametro può essere scelto
arbitrariamente.
03 – Coordinate curvilinee.
La rappresentazione parametrica di curve e superficie ha importantissime e fondamentali
implicazioni che costituiscono il punto di partenza per il calcolo tensoriale (detto anche
calcolo differenziale assoluto). Il calcolo tensoriale, a sua volta, costituisce la base
matematica di fondamentali teorie fisiche quali la teoria della relatività.
Consideriamo la superficie S di equazione parametrica
.
Il punto P della
superficie S corrispondente ai valori
e
dati
ai parametri u
e v è rappresentato
biunivocamente (sotto opportune condizioni) dalla coppia ordinata
.
Cioè, le
coordinate cartesiane di P ,
,
sono determinate dalla coppia 
e
viceversa in quanto vale
(il
viceversa non è vero in generale, ma lo
diventa prendendo una opportuna restrizione della funzione da R² a R³ rappresentata
dall’equazione parametrica della superficie).
La coppia
rappresenta
allora le coordinate del punto P
rispetto al sistema
di coordinate curvilinee u , v . Le coordinate u e v sono dette curvilinee perché
il punto P è l’intersezione delle curve
e
di
equazioni parametriche 
e
,
che sono contenute completamente nella superficie
S , ottenute
ponendo
e
.
Graficamente :
Esempi di coordinate curvilinee (le coordinate curvilinee sono qui tracciate per punti) :
- 1 - sfera :
- 2 - cilindro :
04 – Curve notevoli.
Elenchiamo qui alcune curve notevoli.
- 1 - retta
l’equazione parametrica di una generica retta è :
- 2 - elica circolare
l’equazione parametrica dell’elica circolare è :
dove il parametro u varia da 0 a +∞ . Il numero r rappresenta il
raggio dell’elica ed 2πh rappresenta il “passo” dell’elica. Graficamente,
nel caso di r = 1 ed h = 1/5 :
Fine.
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