Geometria analitica
Rette in R²
01 – Generalità.
La curva algebrica di primo grado
con i parametri a e b non contemporaneamente nulli, rappresenta una generica retta
del piano cartesiano.
Distinguiamo i vari casi :
- caso con a ≠ 0 , b ≠ 0 :
- caso con a = 0 , b ≠ 0 :
- caso con a ≠ 0 , b = 0 :
Nel caso in cui b ≠ 0 , l’equazione della retta può essere messa in forma esplicita :
Il parametro m si chiama coefficiente angolare della retta ed il parametro p si
chiama ordinata all’origine. Il significato geometrico della forma esplicita di una
retta è il seguente :
Il coefficiente angolare m della retta ne rappresenta la pendenza. Considerando il
triangolo rettangolo intercettato dalla retta sugli assi cartesiani, infatti, esso è uguale
alla tangente dell’angolo α (preso a partire dalla semiretta Ox in senso antiorario)
ovvero alla derivata prima della funzione.
Ovviamente la forma esplicita non rappresenta le rette del tipo x = k , ovvero le
rette parallele all’asse delle y .
02 – Rette per un punto.
Le infinite rette che passano per il punto
hanno la seguente equazione
(omettiamo la dimostrazione) :
dove a e b sono parametri reali.
03 – Retta per due punti.
La retta che passa per i punti
e
ha la seguente equazione
(omettiamo la dimostrazione) :
I casi in cui la retta è parallela ad un asse coordinato non sono ovviamente contemplati
in questa equazione in quanto i denominatori si annullerebbero.
04 – Rette parallele.
Le rette di equazione
e
sono parallele quando vale la
relazione :
in quanto le due rette hanno la stessa pendenza. Le rette parallele all’asse Oy , non
rappresentabili in forma esplicita, sono ovviamente parallele.
05 – Rette perpendicolari.
Le rette di equazione
e
sono perpendicolari quando
vale la relazione :
(omettiamo la dimostrazione). Le rette parallele agli assi coordinati vanno ovviamente
considerati a parte. Esse sono le rette x = k ed y = k’ che sono naturalmente
perpendicolari.
06 – Distanza di un punto da una retta.
La distanza del punto
dalla retta
è :
(omettiamo la dimostrazione).
07 – Equazione parametrica della retta.
Una forma parametrica generale della retta è :
Dove a , a’ , b e b’ sono numeri reali ed il parametro u varia da -∞ a +∞ .
Fine.
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