E-school  di  Arrigo Amadori

Geometria analitica

Rette in R²


01 – Generalità.

La curva algebrica di primo grado 

       

con i parametri   a  e  b  non contemporaneamente nulli, rappresenta una generica retta  
del piano cartesiano.

Distinguiamo i vari casi :

        -                      caso con  a ≠ 0  ,  b ≠ 0 :

       

        -                      caso con  a = 0  ,  b ≠ 0 :

        

        -                      caso con  a ≠ 0  ,  b = 0 :

        

Nel caso in cui   b ≠ 0 ,  l’equazione della retta può essere messa in forma esplicita :

       

Il parametro   m   si chiama coefficiente angolare della retta ed il parametro  p  si 
chiama ordinata all’origine. Il significato geometrico della forma esplicita di una 
retta è il seguente :

        

Il coefficiente angolare   m  della retta ne rappresenta la pendenza. Considerando il 
triangolo rettangolo intercettato dalla retta sugli assi cartesiani, infatti, esso è uguale 
alla tangente dell’angolo α  (preso a partire dalla semiretta  Ox  in senso antiorario) 
ovvero alla derivata prima della funzione.

Ovviamente la forma esplicita non rappresenta le rette del tipo   x = k  , ovvero le 
rette parallele all’asse delle  y .

02 – Rette per un punto.

        

Le infinite rette che passano per il punto    hanno la seguente equazione 
(omettiamo la dimostrazione) :

        

dove a  e  b  sono parametri reali.

03 – Retta per due punti.

        

La retta che passa per i punti    e    ha la seguente equazione 
(omettiamo la dimostrazione) :

        

I casi in cui la retta è parallela ad un asse coordinato non sono ovviamente contemplati 
in questa equazione in quanto i denominatori si annullerebbero.

04 – Rette parallele.

        

Le rette di equazione    e   sono parallele quando vale la 
relazione :

        

in quanto le due rette hanno la stessa pendenza. Le rette parallele all’asse  Oy , non 
rappresentabili in forma esplicita, sono ovviamente parallele.

05 – Rette perpendicolari.

        

Le rette di equazione     e    sono perpendicolari quando 
vale la relazione :

        

(omettiamo la dimostrazione). Le rette parallele agli assi coordinati vanno ovviamente 
considerati a parte. Esse sono le rette   x = k  ed  y = k’  che sono naturalmente 
perpendicolari.

06 – Distanza di un punto da una retta.

        

La distanza del punto   dalla retta   è :

        

(omettiamo la dimostrazione).

07 – Equazione parametrica della retta.

Una forma parametrica generale della retta è :

        

Dove  a , a’ , b  e  b’  sono numeri reali ed il parametro  u  varia da  -∞  a  +∞ .

Fine.

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