E-school  di  Arrigo Amadori

Geometria analitica

Curve in R²


01 – Definizioni.

Consideriamo il piano euclideo R² dotato di un sistema di assi cartesiani ortogonali Oxy . 
Esso sarà chiamato d’ora in poi più semplicemente piano cartesiano. L’equazione :

       

dove   f   è una funzione reale continua definita su un opportuno dominio di   x  e  y , 
rappresenta l’equazione di una curva piana i punti della quale soddisfano l’equazione 
data.

Esempio :

        x ² + y ² - 1 = 0   è l’equazione di una circonferenza di centro O e raggio 1

        

        in quanto ogni punto   P   della circonferenza è tale per cui applicando il teorema 
        di Pitagora al triangolo   OHP   si ottiene PH ² + HO ² = 1 e quindi, sostituendo  
        PH = y   e   HO = x  , si ha verificata l’equazione.

Risolvendo (ove possibile) l’equazione di una curva rispetto ad una variabile, per esempio 
la   y , si ottiene :

        

Questa è l’equazione della medesima curva in forma esplicita.

L’equazione in forma esplicita della circonferenza dell’esempio precedente risulta essere 
(si noti che questa equazione non è una funzione perché per un valore 
di   x , la   y  assume due valori).

Se la funzione  è un polinomio in   x  ed  y , la curva si dice algebrica ed il grado 
del polinomio si dice ordine della curva, in caso contrario la curva si dice trascendente.

Le curve algebriche del primo ordine sono le curve di equazione :  

       

Esse sono le rette del piano.

Le curve algebriche del secondo ordine sono le curve di equazione : 
       

Esse sono dette coniche.

Le curve algebriche del terzo ordine sono dette cubiche.

Se l’equazione di una curva è esprimibile come prodotto di due o più funzioni   α 
β  , … , cioè è del tipo   , allora la curva è composta dalle 
curve   α = 0 , β = 0 … perché un prodotto è nullo quando è nullo uno dei suoi 
fattori. In questo caso la curva si dice riducibile, altrimenti si dice irriducibile.

02 – Intersezioni fra due curve.

Date le curve di equazione      esse possono avere punti in 
comune oppure no. I punti in comune fra le due curve si chiamano punti intersezione.

Se le due curve sono algebriche e non hanno parti in comune, vale l’importante teorema 
di Bézout (omettiamo la dimostrazione) :

        se   m  ed  n  sono gli ordini delle due curve, il numero di punti di intersezione sono  
        m · n  . Questi punti possono essere reali o complessi, distinti o coincidenti.

Per determinare le intersezioni fra due curve basta risolvere il sistema fra le due equazioni 
che le rappresentano.

Esempi :

        - 1 -         

                        si tratta dell’intersezione di una retta con una circonferenza in cui i due 
                        punti di intersezione sono distinti e reali. Diamo una soluzione grafica :

                        

        - 2 -            

                        si tratta dell’intersezione di una retta con una circonferenza in cui i 
                        due punti di intersezione sono coincidenti e reali. Si tratta di un punto 
                        di tangenza che può essere interpretato come il passaggio al limite fra 
                        retta secante, con due punti di intersezione, e retta tangente, con un solo 
                        punto di intersezione. Diamo una soluzione grafica (non appare un singolo 
                        punto a causa dello spessore con cui sono state disegnate le curve) :

                        

        - 3 -         

                        si tratta dell’intersezione di una retta con una circonferenza in cui i due 
                        punti di intersezione sono distinti e complessi. In questo caso le due curve 
                        non hanno punti del piano in comune, i punti di intersezione hanno coordinate 
                        complesse. Diamo una soluzione grafica :

                        

03 –Equazione parametrica.

L’equazione di una curva può essere posta nella forma :

        

dove   u   è un parametro reale compreso fra due valori prefissati ( a ≤ u ≤ b , dove a  
può essere anche -∞  e  b  può essere anche  +∞ ) ed   x(u) , y(u)  sono due funzioni 
reali  continue. Una curva così definita si dice espressa in forma parametrica.

Per passare dalla forma parametrica alla forma esplicita, è sufficiente ricavare il parametro 
(ove possibile) da una delle due equazione e sostituirlo nell’altra.

Viceversa, per passare dalla forma esplicita  y = g(x)  alla forma parametrica è sufficiente 
porre   x = u  ed   y = g(u) con   u   definito su gli stessi valori in cui è definita la  x . Si 
noti che le forme parametriche di una curva sono infinite, in quanto il parametro può 
essere scelto arbitrariamente.

Esempi :

        -1 -             , con  0 ≤ u ≤ 2π ,  rappresenta una circonferenza di 
                        centro  O  e raggio   ρ .

                        Infatti, elevando al quadrato ambo i membri e sommando membro a 
                        membro, si ottiene 

        - 2 -         y = x ² + 2x – 1   è una conica (parabola) in forma esplicita. Una sua 
                        forma parametrica è    .

Le curve del tipo   , dove  f(u) , g(u) , h(u)  ed  i(u)  sono polinomi del 
parametro  u  , sono dette curve razionali. Le curve razionali sono curve algebriche 
mentre non vale il viceversa.

04 – Coordinate polari.

La scelta delle coordinate cartesiane ortogonali non è l’unica possibile. Sul piano è 
possibile scegliere infiniti sistemi di riferimento di cui quello cartesiano ortogonale è 
sicuramente il più semplice da utilizzare in un grande numero di applicazioni concrete.

Un sistema di coordinate non cartesiane molto importante è il sistema delle coordinate 
polari. Esso è definito rispetto ad un usuale sistema di riferimento cartesiano utilizzando 
le ben note proprietà trigonometriche dei triangoli rettangoli :

            

Se il punto   P  ha coordinate cartesiane   (x , y) ,  ρ  è l’ipotenusa e  θ  è l’angolo 
con vertice in   O  considerato misurato in senso antiorario rispetto al semiasse 
positivo   Ox  ,  allora valgono le relazioni :

        

La coppia   (ρ , θ)  rappresenta le coordinate polari del punto   P  . La coordinata   
ρ , che può variare da   0  all’infinito,  si chiama raggio vettore mentre la coordinata  
θ  , che può variare da   0  a   2π , si chiama anomalia. Il punto   O   si chiama polo  
e la semiretta   Ox   si chiama asse polare.

La relazione che esprime le coordinate polari in funzione di quelle cartesiane è :

        

la prima si ricavano elevando al quadrato ambo i membri della precedente e sommando, 
la seconda, dividendo ambo i membri.

Si noti che, mentre   ρ  è ricavabile direttamente,  θ  è ricavabile tramite la sua tangente. 
Se si desidera utilizzare la funzione arcotangente, occorre notare che il codominio della 
suddetta è definito fra  - π/2   e   + π/2 .

Esempi :

        - 1 -         la retta   ax + by + c = 0  diventa in coordinate polari  aρcosθ + bρsenθ + c = 0 . 
                        Si noti che l’equazione della retta espressa in forma polare è più complicata 
                        di quella in forma cartesiana.

        - 2 -         la circonferenza   x² + y² - 1 = 0  (di centro  O  e raggio  1 ) è in forma polare   
                        ρ = 1 . In questo caso la forma polare è molto più semplice della forma 
                        cartesiana.

Fine.

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