E-school  di  Arrigo Amadori

Geometria analitica

Coniche notevoli


Elenchiamo qui alcune coniche notevoli.

01 – Circonferenza.

Nel piano cartesiano, l’insieme dei punti equidistanti da un punto detto centro, si chiama 
circonferenza. Sia  C(a , b)  il centro ed   R  il raggio della circonferenza :

        

L’ equazione della circonferenza si ottiene ponendo  PC ² = R ²  ovvero, per il teorema 
di Pitagora,   (x – a) ² + (y – b) ² = R ²   da cui, semplificando, si ha  x ² + y ² - 2ax - 2by  +
+ a ² + b ² - R ² = 0 . Questa equazione si può semplificare ulteriormente ponendo  
α = -2a  ,  β = -2b  ,  γ = a ² + b ² - R ²  per cui, in definitiva, l’equazione della 
circonferenza è :

        

Centro e raggio, espressi in funzione di   α ,  β  ,  γ , risultano allora :

         ,    .

La circonferenza è una curva algebrica di secondo ordine cioè è una conica.

Considerando l’angolo  θ  fra il raggio ed il semiasse positivo   Ox  (misurato in senso 
antiorario), una equazione parametrica della circonferenza è la seguente :

        

con  θ   fra  0  e  2π .

02 – Ellisse.

Nel piano cartesiano, l’insieme dei punti per cui la somma delle distanze da due punti 
detti fuochi è costante si chiama ellisse. Siano  F(-c , 0)  ed  F’(c . 0)  i due fuochi e   
2a   la somma costante (dove  a  e  c  sono positivi) :

        

L’equazione dell’ellisse si ottiene ponendo   PF + PF’ = 2a   da cui, applicando due 
volte il teorema di Pitagora, si ottiene   
Razionalizzando e semplificando si ottiene    
Essendo  PF + PF’ > FF’  (per la disuguaglianza triangolare) si ha   2a > 2c  cioè  
a > c  per cui  a ² - c ² > 0  . Ponendo  b ² = a ² - c ²  l’equazione dell’ellisse si 
semplifica ulteriormente e diviene :

        

Il significato geometrico dei parametri  a , b  e  c  è indicato nel grafico. I quattro punti 
di intersezione dell’ellisse con gli assi coordinati si chiamano vertici, i segmenti intercettati 
si chiamano assi, e la lunghezza del segmento  FF’  si chiama distanza focale.

L’ellisse è una curva algebrica di secondo ordine cioè è una conica.

Una equazione parametrica dell’ellisse è :

        

con  θ   fra  0  e  2π .

03 – Iperbole.

Nel piano cartesiano, l’insieme dei punti per cui la differenza delle distanze da due punti 
detti fuochi è costante si chiama iperbole. Siano  F(-c , 0)  ed  F’(c . 0)  i due fuochi e   
2a   la differenza costante (dove  a  e  c  sono positivi) :

        

Con procedimento analogo all’ellisse e ponendo  b ² = c ² - a ²  si ottiene l’equazione :

        

Il significato geometrico dei parametri  a , b  e  c  è indicato nel grafico. I due punti di 
intersezione dell’iperbole con l’asse Ox  si chiamano vertici, la retta  FF’  si chiama 
asse traverso mentre la retta ad essa normale passante per il punto medio di  FF’  
si chiama asse non traverso. La lunghezza del segmento  FF’  si chiama distanza 
focale.

Le rette di equazione    e    intercettate dal rettangolo indicato in 
figura sono gli asintoti dell’iperbole. L’iperbole, per  x  tendente a  +∞  od a  -∞ , 
si avvicina a queste rette sempre più (omettiamo la dimostrazione).

Nel caso in cui gli asintoti sono ortogonali, facendo una trasformazione di coordinate 
in modo che le nuove coordinate corrispondano agli asintoti, l’iperbole, così detta 
equilatera,  diventa :

        

L’equazione dell’iperbole equilatera risulterà (omettiamo la dimostrazione) :

        

Dove  k  è un parametro positivo (nel caso di  k < 0, l’iperbole è ribaltata rispetto all’asse 
Ox , per cui ci riferiamo al solo caso k > 0). Gli asintoti dell’iperbole coincidono, come già 
detto, con gli assi cartesiani e le coordinate dei vertici sono     e  .

L’iperbole (in entrambe le forme considerate) è una curva algebrica di secondo ordine cioè 
è una conica.

Una equazione parametrica dell’iperbole (nella prima forma) è :

        

con  θ   fra  0  e  2π .

04 – Parabola.

Nel piano cartesiano, l’insieme dei punti per cui la distanza da un punto detto fuoco ed 
una retta detta direttrice è costante si chiama parabola. Prendendo la direttrice  d  
parallela all’asse Ox  ed il fuoco  F  come indicato in figura :

        

e ponendo  PH = PF  si ottiene l’equazione (omettiamo la dimostrazione) :

        

dove   a , b , c  sono parametri reali ed  a  è diverso da  0 .

Il punto  V  si chiama vertice della parabola e la retta  VF si chiama asse. Vertice, 
fuoco e direttrice sono dati in funzione dei parametri  a , b  e  c  dalle seguenti formule :

        

La parabola è una curva algebrica di secondo ordine cioè è una conica.

Fine.

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