Geometria analitica
Coniche notevoli
Elenchiamo qui alcune coniche notevoli.
01 – Circonferenza.
Nel piano cartesiano, l’insieme dei punti equidistanti da un punto detto centro, si chiama
circonferenza. Sia C(a , b) il centro ed R il raggio della circonferenza :
L’ equazione della circonferenza si ottiene ponendo PC ² = R ² ovvero, per il teorema
di Pitagora, (x – a) ² + (y – b) ² = R ² da cui, semplificando, si ha x ² + y ² - 2ax - 2by +
+ a ² + b ² - R ² = 0 . Questa equazione si può semplificare ulteriormente ponendo
α = -2a , β = -2b , γ = a ² + b ² - R ² per cui, in definitiva, l’equazione della
circonferenza è :
Centro e raggio, espressi in funzione di α , β , γ , risultano allora :
,
.
La circonferenza è una curva algebrica di secondo ordine cioè è una conica.
Considerando l’angolo θ fra il raggio ed il semiasse positivo Ox (misurato in senso
antiorario), una equazione parametrica della circonferenza è la seguente :
con θ fra 0 e 2π .
02 – Ellisse.
Nel piano cartesiano, l’insieme dei punti per cui la somma delle distanze da due punti
detti fuochi è costante si chiama ellisse. Siano F(-c , 0) ed F’(c . 0) i due fuochi e
2a la somma costante (dove a e c sono positivi) :
L’equazione dell’ellisse si ottiene ponendo PF + PF’ = 2a da cui, applicando due
volte il teorema di Pitagora, si ottiene
.
Razionalizzando e semplificando si ottiene
.
Essendo PF + PF’ > FF’ (per la disuguaglianza triangolare) si ha 2a > 2c cioè
a > c per cui a ² - c ² > 0 . Ponendo b ² = a ² - c ² l’equazione dell’ellisse si
semplifica ulteriormente e diviene :
Il significato geometrico dei parametri a , b e c è indicato nel grafico. I quattro punti
di intersezione dell’ellisse con gli assi coordinati si chiamano vertici, i segmenti intercettati
si chiamano assi, e la lunghezza del segmento FF’ si chiama distanza focale.
L’ellisse è una curva algebrica di secondo ordine cioè è una conica.
Una equazione parametrica dell’ellisse è :
con θ fra 0 e 2π .
03 – Iperbole.
Nel piano cartesiano, l’insieme dei punti per cui la differenza delle distanze da due punti
detti fuochi è costante si chiama iperbole. Siano F(-c , 0) ed F’(c . 0) i due fuochi e
2a la differenza costante (dove a e c sono positivi) :
Con procedimento analogo all’ellisse e ponendo b ² = c ² - a ² si ottiene l’equazione :
Il significato geometrico dei parametri a , b e c è indicato nel grafico. I due punti di
intersezione dell’iperbole con l’asse Ox si chiamano vertici, la retta FF’ si chiama
asse traverso mentre la retta ad essa normale passante per il punto medio di FF’
si chiama asse non traverso. La lunghezza del segmento FF’ si chiama distanza
focale.
Le rette di equazione
e
intercettate dal rettangolo
indicato in
figura sono gli asintoti dell’iperbole. L’iperbole, per x tendente a +∞ od a -∞ ,
si avvicina a queste rette sempre più (omettiamo la dimostrazione).
Nel caso in cui gli asintoti sono ortogonali, facendo una trasformazione di coordinate
in modo che le nuove coordinate corrispondano agli asintoti, l’iperbole, così detta
equilatera, diventa :
L’equazione dell’iperbole equilatera risulterà (omettiamo la dimostrazione) :
Dove k è un parametro positivo (nel caso di k < 0, l’iperbole è ribaltata rispetto all’asse
Ox , per cui ci riferiamo al solo caso k > 0). Gli asintoti dell’iperbole coincidono, come già
detto, con gli assi cartesiani e le coordinate dei vertici sono
e
.
L’iperbole (in entrambe le forme considerate) è una curva algebrica di secondo ordine cioè
è una conica.
Una equazione parametrica dell’iperbole (nella prima forma) è :
con θ fra 0 e 2π .
04 – Parabola.
Nel piano cartesiano, l’insieme dei punti per cui la distanza da un punto detto fuoco ed
una retta detta direttrice è costante si chiama parabola. Prendendo la direttrice d
parallela all’asse Ox ed il fuoco F come indicato in figura :
e ponendo PH = PF si ottiene l’equazione (omettiamo la dimostrazione) :
dove a , b , c sono parametri reali ed a è diverso da 0 .
Il punto V si chiama vertice della parabola e la retta VF si chiama asse. Vertice,
fuoco e direttrice sono dati in funzione dei parametri a , b e c dalle seguenti formule :
La parabola è una curva algebrica di secondo ordine cioè è una conica.
Fine.
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