Analisi II
Curve (2' parte)
07 – Ascissa curvilinea.
Sia [f] una curva continua rettificabile di
e sia
dove
.
Consideriamo la funzione :
.
Essa è una funzione non decrescente e si chiama ascissa curvilinea di f(t) .
Si noti la seguente importante osservazione :
- se [f] è una curva semplice allora per ogni t' e t'' appartenenti ad [a,b] si ha
(dimostrazione ovvia). In questo
caso, poiché s(t)
è una funzione
continua e crescente su [a,b] , s risulta un omeomorfismo di [a,b] su [0,lunghezza [f]]
e quindi
è un omeomorfismo di
[0,lunghezza [f]] su
[a,b] . Per questi motivi,
la funzione :
sull’intervallo base
[0,lunghezza [f]] ,
g appartenente a
[f]
si chiama rappresentazione parametrica di [f] rispetto all’ascissa curvilinea.
08 – Curva regolare, curva regolare a tratti.
Sia F٭ l’insieme di tutte le funzioni continue a valori in
con dominio un intervallo compatto
di R tali che, se
,
f appartenente a
F٭ , si abbia
e
per ogni t appartenente ad [a,b] . Se inoltre si ha f(a) = f(b) allora è f ' (a) = f ' (b) .
Siano
e
due funzioni di
F٭ . Diciamo che
f è equivalente a
g , e scriviamo f ≈ g , se esiste un omeomorfismo φ di classe
di
[α,β] su
[a,b] tale che
φ ' (r) ≠ 0 per ogni r appartenente a [α,β] e f ◦ φ = g ed inoltre tale che sia φ ' (α) = φ ' (β)
nel caso in cui [f] sia chiusa.
La relazione ≈ è una relazione di equivalenza (omettiamo la dimostrazione) che determina in F٭
una partizione in classi di equivalenza :
.
Ciascuna di esse si chiama curva regolare ed ogni funzione f appartenente ad [f] è una sua
rappresentazione parametrica regolare.
Una curva si dice regolare a tratti se è la somma di curve regolari (pur non essendo essa stessa
regolare).
Graficamente, in R² :
Valgono i teoremi (omettiamo le dimostrazioni) :
- 1 - Sia [f] una curva regolare semplice di
dove
con
f
appartenente a [f] .
Se [f] è aperta, allora f(]a,b[) è una varietà di
di dimensione
1 e classe
.
Se [f] è chiusa, allora f([a,b]) è una varietà di
di dimensione
1 e classe
.
- 2 - Sia [f] una curva regolare a tratti di
dove
con
f appartenente
a [f] .
Allora :
09 – Omotopia, curva omotopa ad un punto, aperto di R² semplicemente connesso.
Diamo qui di questi concetti solo una semplice definizione intuitiva.
Due curve continue appartenenti all’insieme A di
sono omotope in
A se esiste una
“deformazione con continuità” che, restando in A , trasforma una curva nell’altra.
Nell’esempio (in R² ) le curve a e b sono omotope in A . Le curve a e c non sono
omotope in A .
Una curva continua chiusa appartenente all’insieme A di
si dice che è omotopa in
A
ad un punto se esiste una “deformazione con continuità” che, restando in A , trasforma la
curva data in un punto.
Nell’esempio (in R² ) la curva a è omotopa ad un punto in A . Le curva b non è omotopa
ad un punto in A .
Un aperto A di R² si dice semplicemente connesso se ogni curva chiusa continua contenuta
in A è omotopa in A ad un punto.
Nell’esempio (in R² ) l’insieme A è semplicemente connesso mentre l’insieme B non è
semplicemente connesso.
Fine.
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