Analisi II
Curve (1' parte)
Le curve sono un capitolo fondamentale della matematica. Esse vengono definite in generale sullo
spazio euclideo n-dimensionale
. Negli spazi
ed
esse sono le usuali curve continue
della geometria elementare.
01 – Curva di Jordan.
Un insieme
, dove
è una funzione continua su
[0,1] , si chiama
curva di Jordan.
Se f è un omeomorfismo di [0,1] su f([0,1]) allora la curva si chiama arco semplice di Jordan.
Il concetto di arco semplice significa che la curva non passa più volte per uno stesso punto.
Esempi :
- 1 - circonferenza in
:
- 2 - ellisse in
:
- 3 - cicloide in
:
- 4 - elica in
:
02 – Altra definizione di curva continua in
.
Sia F l’insieme di tutte le funzioni continue a valori in
aventi per dominio un intervallo
compatto di R .
Siano f e g due funzioni di F , cioè
, e sia
un omeomorfismo di [α,β] su [a,b] tale che f ◦ φ = g .
Se valgono queste condizioni, diciamo che g è equivalente a f e scriviamo f ≈ g .
La relazione ≈ è una relazione di equivalenza (omettiamo la dimostrazione). Questa determina in
F un partizione in classi di equivalenza. Ciascuna classe di equivalenza :
si chiama curva continua.
Se [f] è una curva continua ed f è una funzione ,
, appartenente alla classe
[f] ,
diciamo che f è una rappresentazione parametrica sull’intervallo base [a,b] della curva
continua [f] .
Si noti che :
- 1 - condizione necessaria e sufficiente affinché φ sia un omeomorfismo di [α,β]
su [a,b] è che φ sia continua e crescente (o decrescente) (omettiamo la
dimostrazione).
- 2 - se si sostituisce
con uno spazio normato si
ottiene la analoga definizione di
curva continua su di uno spazio normato.
03 – Curva continua di
aperta, chiusa, semplice e
non.
Sia [f] una curva continua in
e sia
dove
.
Essa si dice aperta se f(a) ≠ f(b) e chiusa se f(a) = f(b) . I punti f(a) e f(b) si chiamano estremi
della curva.
Se esistono m valori ( m > 1 ) di ]a,b[
tali che
mentre
, risulta
, allora si dice che
è un punto
m-plo della curva.
Se una curva continua non ha punti m-pli (con m > 1) si dice semplice.
Si noti che quanto affermato vale per ogni altra funzione appartenente a [f] .
Esempi :
- la curva di cui ai precedenti esempi 1 e 2 sono semplici e chiuse. La curva di
cui al 3 è aperta con un punto doppio. La curva di cui al 4 è semplice e aperta.
04 – Curva continua orientata in
.
Sia F l’insieme di tutte le funzioni continue a valori in
aventi per dominio un intervallo
compatto
di R .
Se f e g sono due funzioni di F ,
, diciamo che
g è (+)-equivalente
ad f , e scriviamo
, se esiste una funzione 
continua e crescente tale che
f ◦ φ = g .
Diciamo che g è (-)-equivalente ad f , e scriviamo
, se esiste una funzione
continua e decrescente tale che f ◦ ψ = g .
La relazione
è una relazione di equivalenza
(omettiamo la dimostrazione). Questa determina
in F un partizione in classi di equivalenza. Ciascuna classe di equivalenza :
si chiama curva orientata.
Se
allora :
si chiama opposta della curva
.
Per esempio, se g(t) =f(a + b - t) con t appartenente a [a,b] , allora
.
Se
è una funzione di
F , allora f(a) si chiama punto
iniziale e f(b)
si chiama
punto terminale della curva
.
Esempio :
-
si ha quindi
.
05 – Arco di una curva continua orientata di
, somma di curve continue
orientate di 
.
Sia
una curva continua orientata
di 
dove 
è una funzione continua.
Se
allora
si chiama arco di
.
Siano
e
due curve continue orientate
di 
dove
sono funzioni continue tali che f(b) = g(c) .
Se :
,
la curva
si chiama somma di
e
e si indica con 
.
06 – Curva continua rettificabile di
, lunghezza di una curva.
Sia [f] una curva continua in
e sia
dove
. Essa si dice rettificabile
se f è a variazione limitata su [a,b] . In questo caso la variazione totale di f su [a,b] ,
,
si chiama lunghezza di [f] .
La definizione di rettificabilità e di lunghezza può essere posta nel seguente modo equivalente.
Sia
una scomposizione finita di
[a,b]. La poligonale
di vertici
si chiama poligonale,
corrispondente a σ ,
inscritta nella curva
(tralasciamo la definizione di poligonale di
perché evidente).
Si ha evidentemente che :
per cui [f] è rettificabile se solo se
dove
Ω è l’insieme di
tutte le scomposizioni finite di [a,b] .
Si noti infine che la definizione di rettificabilità e lunghezza di una curva è indipendente dalla
scelta della funzione f che la rappresenta, ma dipende solo dalla classe [f] .
Si hanno i teoremi (omettiamo le dimostrazioni) :
- 1 - Sia [f] una curva continua rettificabile di
. Per ogni
ε reale positivo
esiste allora un δ(ε) reale positivo tale che :
qualunque sia la scomposizione finita σ dell’intervallo di base di f purché
ogni suo intervallo componente abbia misura < δ(ε) .
- 2 - (additività della lunghezza) Sia
una curva continua rettificabile di
somma
di due curve continue
e
. Allora anche [g]
e [h] sono
rettificabili e vale :
Continua ...
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