Il secondo principio della dinamica afferma che la forza applicata ad un corpo è proporzionale
alla accelerazione che esso subisce. La arcinota formula che esprime matematicamente questo
principio è :
F = m · a .
La costante m che esprime la proporzionalità fra forza ed accelerazione si chiama massa del corpo
e si misura in kg (chilogrammi). L'accelerazione a esprime la variazione della velocità nell'unità di
tempo e si misura in m/s² (metri al secondo per secondo). La forza si misura in N (newton).
La massa di un corpo esprime l'inerzia con cui esso si oppone alla forza che gli fa cambiare la velocità,
cioè lo fa accelerare. Maggiore è la massa, minore è la variazione di velocità (la accelerazione) che a
parità di forza si ottiene.
A causa di questa proprietà che hanno i corpi, è più esatto chiamare la massa, massa inerziale.
Consideriamo adesso la forza gravitazionale fra due corpi. La formula matematica che esprime
questa forza è altrettanto nota ed è anch'essa dovuta al grande Newton :
dove G è una costante, la cosiddetta costante di gravitazione universale, R è la distanza fra i corpi,
e 
sono le masse gravitazionali dei corpi.
Si noti che abbiamo chiamato
e masse
gravitazionali per distinguerle dalle masse inerziali
dei corpi.
Supponiamo che il corpo 1 abbia massa inerziale
ed il corpo 2 abbia bassa inerziale 
.
La distinzione fra massa inerziale e massa gravitazionale è doverosa perché non è detto che esse
coincidano !!! Se lo fanno, se sono identiche, questo non può essere per caso, deve essere per
qualche ben preciso motivo.
Vediamo ora di calcolare l'accelerazione che un corpo qualunque ha sulla superficie della terra (il luogo
della nostra esperienza quotidiana) per il semplice fatto di essere attirato gravitazionalmente dalla terra.
La forza gravitazionale F con cuoi la terra attira a sé il corpo in questione è il peso del corpo.
Vediamo ora di ricavare l'accelerazione impressa da questa forza al corpo, la cosiddetta
accelerazione di gravità g .
Per il secondo principio della dinamica si ha :
F =
· g
in quanto la massa inerziale del corpo è appunto
. D'altra parte la forza F è data dalla formula
gravitazionale di Newton :
dove
e sono le masse gravitazionali
rispettivamente del corpo in questione e della terra.
Confrontando le due formule si ottiene :
da cui si ricava immediatamente :
che ci dà l'accelerazione di gravità con cui un corpo cade a causa del suo peso, in prossimità
della superficie terrestre.
Analizziamo questa formula molto importante.
L'accelerazione g dipende da una costante G , dalle masse inerziale e gravitazionali del corpo che
cade, dalla massa gravitazionale della terra e dalla distanza del corpo dalc entro della terra.
Di queste grandezze alcune sono costanti : G (costante di gravitazione universale),
(massa
gravitazionale della terra), R (distanza del corpo dal centro della terra che ovviamente, se il corpo
cadendo compie piccoli spostamenti, è praticamente costante, essendo il raggio della terra circa
6000 km).
Raggruppando le costanti, possiamo riscrivere la formula in un modo più conveniente :
(le costanti sono fra parentesi).
Dalla formula così scritta, si vede bene che g dipende appunto da una costante (quella fra parentesi)
e dal rapporto :
fra la massa gravitazionale del corpo e la sua massa inerziale.
Questo rapporto in generale dovrebbe essere diverso per ogni corpo per cui i corpi, sulla superficie
terrestre, dovrebbero cadere con accelerazioni diverse.
Come si fa a definire questo rapporto per ogni corpo ? Poiché non si conosce una teoria che ne
determini il valore, la risposta è semplice :
facendo delle misure sperimentali.
02 - Principio di equivalenza.
Facendo tali misure, anche con grande precisione (eliminando per esempio l'aria che si oppone alla
caduta dei corpi), si perviene alla conclusione che :
la massa inerziale è uguale alla massa gravitazionale.
Anche noi possiamo verificare ciò qualitativamente semplicemente facendo cadere a terra due corpi
di massa (inerziale) diversa e notando che essi cadono allo stesso modo.
Se la massa gravitazionale uguaglia la massa inerziale, il rapporto
vale 1
per ogni corpo, per cui
si ha :
dove
è la
massa (non serve più specificare di che tipo) della terra. Il valore di
g è circa 9,8 m/s² ed
è allora lo stesso per ogni corpo indipendentemente dalla sua massa.
Infine è ovvio che, a causa di questo principio, non vi è più ragione di distinguere fra i due tipi di massa,
per cui si usa semplicemente la parola massa, senza ulteriori specificazioni.
Questo fatto è di fondamentale importanza è non è un puro caso. La natura "funziona" così per cui
questo fatto fu posto da Einstein come nuovo principio, assioma, di natura : il principio di equivalenza.
Il principio di equivalenza costituì per Einstein la base su cui costruì la teoria della relatività generale,
da molti considerata la teoria scientifica più profonda, "elegante" e "bella" di tutti i tempi.
Essa fu pubblicata nel 1916 dopo lunghi anni di studi ardui e complessi.
Vediamo ora come Einstein "costruì" questa teoria ricordando che essa costituì una sua creazione
completamente originale e "solitaria", mentre tale non fu la relatività ristretta (se Einstein non l'avesse
pubblicata nel 1905, altri sarebbero in breve arrivati alle stesse conclusioni che, si può quasi dire,
erano da tempo "nell'aria").
Consideriamo ora il seguente esperimento ideale. Consideriamo una astronave in viaggio in una
regione di spazio distante da ogni corpo, così da non esserne influenzata. L'astronave sarà cosi un
sistema inerziale ed i corpi al suo interno saranno in quiete (essi risulteranno come "galleggiare").
Supponiamo che ad un certo momento vengano accesi i razzi e l'astronave cominci ad accelerare.
L'astronave cessa allora di essere un sistema inerziale e diventa un sistema accelerato.
Supponiamo che gli astronauti al suo interno non abbiano la possibilità di "guardare" fuori dall'astronave,
ma possano fare solo esperimenti di fisica (sempre al suo interno).
Gli astronauti vedranno allora i corpi contenuti nell'astronave cadere tutti da una stessa parte e tutti con
la stessa accelerazione, indipendentemente dalla loro massa.
Questo è tipico dei sistemi di riferimento accelerati. Rispetto ad essi, i corpi accelerano in modo
indipendente dalla loro massa. Per esempio, se sono in un sistema ruotante (diciamo una giostra) vedrò
i corpi ruotare tutti in uno stesso modo (nel verso contrario alla rotazione del sistema), indipendentemente
dalla loro massa.
Domandiamoci :
potranno gli astronauti, eseguendo ogni possibile esperimento di fisica (all'interno), distinguere se
l'astronave sta accelerando a causa dei suoi razzi accesi o è semplicemente posata sulla superficie
di un pianeta ?
La risposta, alla luce del principio di equivalenza, è NO. Gli astronauti non possono distinguere queste
due diverse situazioni proprio a causa del principio di equivalenza, perciò grazie ad esso un campo
gravitazionale è equivalente ad un sistema di riferimento accelerato (non inerziale).
Le due situazioni sono perfettamente identiche per cui, se non si "guarda fuori", non è possibile capire
la vera causa della caduta con uguale accelerazione dei corpi, osservata dagli astronauti.
Ribadendo il concetto, possiamo quindi affermare che :
un campo gravitazionale è equivalente ad un sistema di riferimento accelerato.
Questa è un altro modo di esprimere il principio di equivalenza, direttamente discendente dal precedente
modo (massa gravitazionale = massa inerziale).
03 - Teoria della relatività generale.
Se allora un campo gravitazionale è equivalente a un sistema di riferimento non inerziale (accelerato),
perché non descriverlo come fosse un sistema di riferimento non inerziale ?
Questo è il concetto fondamentale della teoria della relatività generale. Secondo questa teoria, un campo
gravitazionale è descritto da un sistema di riferimento x, y, z, t non inerziale (accelerato).
I corpi, riferiti a questo sistema accelerato (che descrive il campo gravitazionale) si muoveranno lungo
traiettorie di minima distanza (perché in natura vale il principio di minima azione, secondo il quale
la natura sceglie sempre la minore "fatica", ed il maggiore "risparmio"). Tali traiettorie, in matematica si
chiamano geodetiche.
Con la teoria della relatività generale, la fisica si ricuce ad un problema di geometria, si riduce cioè alla
determinazione della metrica che lo spazio-tempo, disturbato dalle masse, viene ad avere.
Le masse disturbano, incurvano, così lo spazio-tempo ed i corpi sono costretti a muoversi lungo le
geodetiche dello spazio-tempo.
Abbiamo affermato che le masse incurvano la spazio-tempo perché non vi è alcuna ragione che lo
spazio-tempo debba essere piatto, ovvero euclideo. Uno spazio euclideo è uno spazio in cui vale la
geometria euclidea (per esempio, vale il teorema di Pitagora). Lo spazio euclideo è sicuramente uno
spazio molto semplice da descrivere, ed è lo spazio della nostra esperienza quotidiana. Ma, che lo
spazio in grande scala sia euclideo, questo non è deducibile da considerazioni di "semplicità" o "convenienza"
umana : le caratteristiche dello spazio non sono come noi vorremmo che fossero, ma sono come la
natura vuole che siano !!!
Per questo motivo, non ci dobbiamo "scandalizzare" se lo spazio-tempo fisico è curvo !!!
La matematica per descrivere gli spazi curvi è molto complessa, e va sotto il nome di calcolo tensoriale.
Essa fu formulata molto prima di quando Eunstein se ne servì per la propria teoria della relatività generale.
Il calcolo tensoriale nasce con Gauss, viene portato ad un grande livello di viluppo da Riemann, e viene
portato a compimento specialmente per opera di Ricci-Curbastro (matematico romagnolo di Lugo, 1853 -
1925) e da Levi-Civita.
La teoria della relatività generale si riassume nella famosa equazione di Einstein. Si tratta di una equazione
la cui soluzione permette di trovare la metrica dello spazio-tempo in funzione delle masse in gioco e di calcolare
il moto delle masse nello spazio-tempo da esse stesse influenzato la cui metrica cambia al muoversi delle masse !!!
Si tratta di una equazione straordinaria perché è in grado di "gestire" contemporaneamente cause ed effetti.
L'analisi di questa equazione (in verità estremamente complessa) non è ancora esaurita. Essa è in grado di
descrivere addirittura la struttura dell'universo nel suo insieme.
Grazie alla teoria della relatività generale, nasce la cosmologia moderna.
Molte sono le conseguenze fisiche di queste equazioni ed alcuni fenomeni da esse previste sono del tutto
nuovi ed imprevedibili se si rimane nell'ottica della precedente teoria di Newton.
Fine.