La teoria della relatività risale a Galileo. Egli, infatti, fu il primo a comprendere che i sistemi di
riferimento inerziali sono fisicamente equivalenti, cioè che le leggi della fisica sono le stesse
in tutti i sistemi di riferimento inerziali. In altra parole non esiste un sistema di riferimento
inerziale privilegiato.
Questa è la formulazione (in tre diverse, ma equivalenti, forme) del principio di relatività.
In "pratica", se sono in un sistema di riferimento inerziale, non mi accorgo di muovermi !!!
Il principio di relatività originariamente formulato da Galileo ha a che fare esclusivamente con i sistemi
di riferimento inerziali. Non prende in considerazione per nulla i sistemi di riferimento accelerati.
Per questo motivo Einstein chiamò successivamente la sua teoria della relatività, limitatamente ai sistemi
di riferimento inerziali, teoria della relatività ristretta (o particolare) per distinguerla dalla teoria
della relatività generale che si occupa in generale, appunto, di ogni tipo di sistema di riferimento
accelerato (e, come vedremo prossimamente, della gravitazione).
Abbiamo usato entrambe le parole "teoria" e "principio" perché, in effetti, stiamo parlando di una legge
di natura. La natura "funziona così", essa non fa distinzione fra un sistema di riferimento inerziale ed un
altro.
Supponiamo di viaggiare su di un treno a velocità costante, su binari perfettamente rettilinei e lisci, oppure
immaginiamo di navigare su una nave, a velocità costante , su di un mare completamente calmo.
Orbene, in entrambe queste situazioni (ed in tutte le altre analoghe) se facessimo esperimenti di fisica
giungeremmo alle stesse conclusioni, troveremmo le stesse leggi. Questo è il significato del principio
di relatività ristretta.
I due sistemi di riferimento risulterebbero esattamente equivalenti e noi non potremmo in alcun modo
trovare "qualcosa" che distingua uno dall'altro.
A questo punto, però, nasce un grosso problema. Le equazioni di Maxwell mostrano che la velocità
della luce nel vuoto (del campo, ovvero delle onde elettromagnetiche) è pari a c (300.000 km/s circa).
Sorge allora spontanea una domanda : questa velocità c , rispetto a quale sistema di riferimento è
riferita ?
I fisici di fine '800 ipotizzarono allora l'esistenza di un sistema di riferimento particolare, che chiamarono
etere, e che coincideva con una sostanza, a dire il vero molto "strana", dalle caratteristiche esclusive,
che permeava l'universo e rispetto alla quale le onde elettromagnetiche si muovevano con velocità c .
Questo etere, in effetti, nasceva dal concetto che, così come il suono, per propagarsi, ha bisogno di un
substrato materiale, anche le onde elettromagnetiche, per propagarsi, dovevano avere bisogno di qualcosa
del genere : ecco quindi l'esigenza dell'etere.
Furono allora predisposti importanti e fondamentali esperimenti per rilevare l'esistenza dell'etere. Fra tutti
ricordiamo l'esperimento di Michelson-Morley.
Purtroppo, però, questi esperimenti portarono tutti ad esito negativo : l'etere non si trovava.
Nacque allora una grande disputa fra gli scienziati dell'epoca (i protagonisti furono Lorentz, Poincarè,
Minkowski ecc.). Fu però Einstein che, con il suo famoso articolo del 1905, che è passato alla storia,
risolvette genialmente la controversia sull'esistenza dell'etere e sulle problematiche correlate ad esso.
Con questo articolo nasce la teoria della relatività ristretta ed in senso lato la scienza contemporanea.
Vediamo di descrivere a grandi linee le nuove idee che Einstein pubblicò in quell'articolo.
Consideriamo due sistemi di riferimento inerziali K e K' .
Supponiamo che K' si muova rispetto a K con velocità V costante (moto rettilineo uniforme).
Si noti che i sistemi di riferimento inerziali possono muoversi fra loro solo con velocità costanti (moti
rettilinei uniformi). Infatti, se la velocità relativa fra i due sistemi non fosse rettilinea uniforme, ma accelerata,
uno dei due sistemi di riferimento non potrebbe più essere inerziale. Per questo motivo, tutti i sistemi di
riferimento inerziali sono fra loro in moto rettilineo uniforme.
Si noti anche che se K' si muove con velocità V rispetto a K , allora K si muoverà con la stessa
velocità rispetto a K' . Non esiste il moto assoluto, ma ogni moto è relativo ad un sistema di riferimento.
Dotiamo il sistema K di un sistema di riferimento cartesiano 0xyz e di un orologio che segna il tempo t .
Facciamo la stessa cosa per K' , dotandolo di un sistema di riferimento cartesiano 0x'y'z' e di un
orologio che segna il tempo t' :
A questo punto immaginiamo che un raggio di luce parta in un certo istante da K' nella direzione
di x' positiva :
Supponendo che l'etere sia solidale con K' , noi sappiamo dalla teoria di Maxwell che la luce
si muoverà rispetto a K' con velocità c .
Rispetto a K , allora, con che velocità sarà vista viaggiare quella luce ?
Questa è una domanda cruciale.
Secondo Galileo, le cui concezioni sul moto rispecchiavano il cosiddetto "senso comune" (ma il buon
senso nella fisica contemporanea ce lo dobbiamo, ahimè, dimenticare !!!), la velocità della luce rispetto
a K sarà :
V + c
ovvero la velocità di K' rispetto a K più la velocità della luce rispetto a K' . Per Galileo, e per il senso
comune, le velocità si sommano !
Questo risultato, invece, non è riscontrabile in natura. Nessun esperimento ha mai messo in evidenza che la
luce viaggia nei vari sistemi di riferimento con velocità diversa da c . La natura ci mostra che la velocità
della luce è la stessa ( c , nel vuoto) in tutti i sistemi di riferimento inerziali.
Einstein affermò anche che la velocità della luce è la massima possibile e nessun corpo o segnale può
superarla.
Nel nostro esperimento ideale, allora, il sistema K (si dice anche osservatore) vedrà la luce viaggiare alla
stessa velocità c .
Questa è una nuova legge di natura, un nuovo principio, che Einstein propose in aggiunta al principio di
relatività di Galileo e lo chiamò :
"principio di costanza della velocità della luce".
Con l'aggiunta di questo nuovo principio non si ha più bisogno dell'etere (del resto non rilevabile
sperimentalmente) ma l'intera meccanica deve essere corretta, riscritta radicalmente nei sui concetti
di base relativi allo spazio ed al tempo.
Questo principio ha in sé una grande forza rivoluzionaria, dirompente, e qui sta il genio e la grandezza di
Einstein : nell'avere avuto il coraggio (che i suoi contemporanei non ebbero) di proporre un taglio netto
con il passato, cambiando idee e convinzioni radicate.
02 - Conseguenze della teoria della relatività ristretta.
La conseguenza principale della relatività ristretta è che lo spazio ed il tempo non sono più grandezze
assolute, esse sono legate strettamente al sistema di riferimento a cui si riferiscono e, cambiando il
sistema di riferimento, esse non si comportano secondo il nostro "buon senso", ma secondo leggi che
portano, se viste nell'ottica del buon senso, ad apparenti contraddizioni e stranezze.
Supponiamo di avere un regolo (oggetto solido atto a misurare le lunghezze) solidale con il sistema K' ,
che viaggia cioè assieme a K' . Supponiamo che la sua lunghezza misurata in K' sia L0 e che esso sia
orientato secondo l'asse x' :
Quale sarà la lunghezza L di quel regolo "vista", misurata, rispetto a K ?
La risposta non è ovvia e dipende dalle regole di trasformazione fra coordinate e tempi dei sistemi
inerziali. Lorentz e Poincarè trovarono quelle regole (che vengono di solito chiamate trasformate di
Lorentz).
Applicando quelle regole matematiche si trova che :
.
Questa formula è molto importante. Vediamo di capirne il significato analizzando vari casi :
- 1 - Caso con V = 0 , ovvero il sistema K' è in quiete rispetto a K .
Se V = 0 il radicando vale 1 - 0 per cui si ha L = L0 . Questo risultato è ovvio.
- 2 - Caso con V << c , ovvero il sistema K' si muove rispetto a K con velocità V molto
minore di c .
Se V è molto minore di c , e questo è il caso delle velocità ordinarie, con cui abbiamo
a che fare tutti i giorni, il rapporto V ² / c ² è molto piccolo, essendo
c ² = 300.000.000 ² = 90.000.000.000.000.000 !!!
(usando le unità m/s ) ed essendo V ² non comparabile con l'enorme numero scritto sopra.
Questo significa che il radicando vale praticamente 1 - 0 per cui si ha L = L0 (quasi).
Questo risultato è coerente alla nostra esperienza quotidiana, al nostro buon senso, secondo
il quale i regoli hanno lunghezze indipendenti dalla loro velocità.
- 3 - Caso con V ~ c (significa V circa uguale a c ), ovvero il sistema K' si muove rispetto a K
con velocità V prossima a c .
In questo caso, invece, s ha una profonda differenza rispetto al buon senso. Supponiamo che
sia V = (9/10) c . Tenendo presente che :
V ² / c ² = ((9 / 10)c ) ² / c ² = (9/10) ² = 81 / 100 = 0,81
si ottiene :
L = 0,436 · L0 circa.
Si ha cioè che rispetto a K il regolo misura quasi la metà della lunghezza che esso ha rispetto a
K' dove esso è in quiete !!!
Questo risultato è sorprendente ed apparentemente, stando la buon senso, assurdo. I corpi in
moto sembrano, per chi li osserva muoversi, più corti della loro lunghezza misurata in un sistema
di riferimento in cui essi sono in quiete. I corpi allora appaiono contrarsi.
Si tenga sempre presente che nel sistema in cui il regolo è in quiete non si osserva nessuna
contrazione, perché come sappiamo, in un sistema inerziale non ci si "accorge" di essere in
movimento per cui la "vita" si svolge "normalmente".
- 4 - Caso di V = c , ovvero il sistema K' si muove rispetto a K con velocità V uguale a c :
Einstein afferma che la velocità della luce c non è raggiungibile da nessun corpo dotato
di massa. Questo caso, quindi, non è possibile. Infatti, sostituendo c a V nella formula, si
ottiene che V / c è uguale a 1 e quindi che il radicando diventa nullo. Questo porta al
risultato che L diventa nullo. Il corpo in moto alla velocità della luce verrebbe visto contrarsi
completamente e ridursi ad un punto !!!
Possiamo allora affermare che, se la velocità V tende a c , la lunghezza del regolo misurata
rispetto a K tenderà a zero.
In maniera analoga, chiediamoci come un certo intervallo di tempo T0 misurato nel sistema K' venga
visto se misurato rispetto a K .
La risposta è la seguente :
dove T è la durata del medesimo intervallo di tempo vista però rispetto a K .
Anche qui possiamo distinguere alcuni casi interessanti :
- 1 - Caso con V = 0 , ovvero il sistema K' è in quiete rispetto a K .
Se V = 0 , il radicando diventa 1 per cui T = T0 come è giusto che sia.
- 2 - Caso con V << c , ovvero il sistema K' si muove rispetto a K con velocità V molto
minore di c .
In questo caso, come nell'analogo caso visto sopra per i regoli, si ottiene che il radicando è
praticamente uguale a 1 . Per questo motivo si ha che T è praticamente uguale a T0 come
il nostro senso comune ci mostra. Per orologi in moto con velocità piccole rispetto alla
velocità della luce, il tempo sembra scorrere quasi allo stesso modo che per orologi in quiete.
- 3 - Caso con V ~ c (significa V circa uguale a c ), ovvero il sistema K' si muove rispetto a K
con velocità V prossima a c .
Questo, invece, è un caso che si discosta enormemente da quello che ci potremmo aspettare.
Facciamo anche qui l'esempio di una velocità pari ai 9/10 di c . Si ha allora :
T = T0 / 0,436 circa
ovvero T risulta circa il doppio di T0 .
Questo risultato ha dell'incredibile !!! Il tempo di K' viene visto scorrere più lentamente
se K' si muove rispetto a K con velocità prossime alla velocità della luce.
- 4 - Caso di V = c , ovvero il sistema K' si muove rispetto a K con velocità V uguale a c .
In questo caso si ha che il radicando è uguale a 0 , per cui il denominatore della frazione
è nullo. Questo è un caso impossibile (non si può dividere per 0 ), però, se consideriamo
la velocità V tendere, avvicinarsi sempre più, a c , si ha di conseguenza che il tempo T
diventa infinito. Quando la velocità dell'orologio di K' diventa uguale a c , allora il tempo
sembra, rispetto a K rallentare fino a fermarsi.
03 - Paradosso dei gemelli.
Il sistema inerziale K vede che nel sistema inerziale K' il tempo scorre più lentamente. Questo è
lo sconcertante risultato che si ha con l'introduzione del principio di costanza della velocità della luce.
Siccome, a causa del principio di relatività, i sistemi di riferimento inerziali sono del tutto equivalenti, il
sistema K' vedrà accadere la stessa cosa nel sistema K : il tempo scorrerà più lentamente.
Supponiamo ora che due gemelli abitino rispettivamente il sistema K e K' e che in un certo istante
i due sistemi si trovino a coincidere.
Successivamente i due sistemi si allontaneranno con velocità costante l'uno rispetto all'altro.
Il gemello K vedrà allora che per il fratello K' il tempo scorre più lentamente per cui lo vedrà invecchiare
più lentamente.
Analogamente, poiché i due sistemi sono del tutto equivalenti, il gemello K' vedrà il fratello K invecchiare
più lentamente.
Supponiamo che un giorno i due fratelli gemelli si incontrino. Allora, K dovrebbe vedere K' ringiovanito ed
allo stesso tempo K' dovrebbe vedere K ringiovanito.
Ecco il paradosso !!! Ogni fratello dovrebbe essere più giovane dell'altro !!!
Abbiamo però commesso un errore basilare nella formulazione del paradosso. Abbiamo previsto che un
giorno i gemelli si incontrino. Perché questo possa avvenire occorre che uno dei due sistemi inverta il moto
e ritorni indietro verso l'altro.
Questo fatto comporta una accelerazione del sistema di riferimento per cui almeno uno dei due sistemi cessa
di essere un sistema di riferimento inerziale con il risultato che la teoria della relatività ristretta, che si
applica appunto ai soli sistemi inerziali, cessa di essere vera, per cui non si possono più fare i ragionamenti
che abbiamo fatto sopra circa a quello che "vedono" i due gemelli.
Subentra allora la teoria della relatività generale ed il risultato che si ottiene è che il gemello che ha subito
l'accelerazione risulterà più giovane dell'altro. E questo senza alcuna contraddizione.
04 - Come devono essere le leggi della fisica ?
La teoria della relatività ristretta fornisce anche una regola generale a cui tutte le leggi fisiche devono
sottostare.
Siccome le leggi della fisica devono essere, secondo questa teoria, identiche in tutti i sistemi di riferimento
inerziali, le leggi stesse della fisica devono per questo soddisfare una certa proprietà matematica.
Devono essere invarianti rispetto alle trasformazioni di coordinate che fanno passare dal sistema K al
sistema K' .
Le leggi della fisica, allora, devono essere invarianti rispetto alle trasformate di Lorentz che descrivono
appunto le relazioni matematiche fra i due sistemi.
Se una legge della fisica, passando da K a K' , non risulterebbe identica a se stessa, vorrebbe dire
che violerebbe il principio di relatività ristretta, per cui sarebbe una legge sbagliata.
Le leggi della fisica devono essere Lorentz-invarianti !!!
Le equazioni Maxwell lo sono mentre le leggi della meccanica newtoniana (e quindi galileliana), cioè
la meccanica classica, non lo sono !!!
Ecco allora che la teoria della relatività ristretta di Einstein corregge la meccanica classica.
Per finire diamo, giusto per "curiosità" scientifica e per goderne il "fascino", la formulazione completa delle
trasformate di Lorentz :
Fine.