Continuiamo con l'analisi delle 4 equazioni di Maxwell.
Per fare questo, è necessario imparare un altro concetto matematico, quello della circuitazione.
Consideriamo una linea chiusa immersa in un campo descritto da un vettore, per esempio il campo
elettrico.
Qui abbiamo indicato il vettore campo elettrico E in alcuni punti della linea. Orbene, la circuitazione
del vettore lungo la linea chiusa ha a che fare con il prodotto dell'intensità del vettore per la lunghezza
della linea stessa.
Ci accontentiamo di questa definizione un po' empirica, intuitiva, perché la definizione esatta richiede
il calcolo integrale.
In altre parole, la circuitazione di un vettore lungo una linea chiusa esprime la possibilità di "percorrere",
come dice la parola stessa, la linea chiusa, il circuito appunto, con il vettore che descrive il campo.
3' equazione di Maxwell.
La terza equazione di Maxwell si può esprimere nel seguente modo :
la circuitazione del campo elettrico lungo il bordo di una superficie aperta è proporzionale
alla variazione nell'unità di tempo del flusso del campo magnetico sulla superficie stessa.
Simbolicamente si può scrivere :
dove C indica la circuitazione,
indica la variazione nell'unità di tempo e 
indica il flusso.
Naturalmente, E indica il campo elettrico ed H indica il campo magnetico.
Questa equazione descrive un fenomeno molto importante, detto induzione magnetica, che è alla
base del funzionamento, per esempio, delle apparecchiature che generano elettricità quali la dinamo,
l'alternatore ecc..
Nelle nostre case arriva la corrente elettrica ottenuta sfruttando proprio questo fenomeno.
Immaginiamo una superficie aperta attraversata dalle linee di forza di un campo magnetico. Se questo
campo magnetico non varia nel tempo, si ha un flusso magnetico costante e non vi è alcun effetto di
induzione magnetica.
Se, invece, il campo magnetico varia, il flusso magnetico sulla superficie in questione varia nel tempo
e si ha l'induzione magnetica che consiste nel fatto che si genera un campo elettrico, altrimenti assente.
Orbene, la circuitazione del campo elettrico così ottenuto lungo il bordo della superficie aperta, è
proporzionale alla variazione nell'unità di tempo del flusso del campo magnetico sulla superficie in
questione.
Si noti che "la variazione nell'unità di tempo" di una grandezza qualunque significa che devo fare la
differenza fra i valori che assume quella grandezza in due istanti diversi e devo dividere poi il risultato
ottenuto per l'intervallo di tempo considerato. Per esempio, se una grandezza adesso vale 10 e fra 2
secondi vale 20 , la sua variazione nell'unità di tempo sarà (20 - 10) / 2 = 5 .
Si noti anche che la variazione di flusso magnetico può essere ottenuta semplicemente movendo una
calamita davanti ad una spira di rame.
Il campo elettrico E che si genera per induzione magnetica, è "disposto" lungo la spira di rame ed è in
grado di mettere in moto gli elettroni delle ultime orbite degli atomi di rame che, come sappiamo, sono
praticamente liberi di muoversi. Si ottiene così una corrente elettrica a partire da un campo magnetico
variabile.
Questo fenomeno così semplice, è alla base dell'enorme progresso tecnologico che l'umanità sta
avendo !!!
Dalla modesta dinamo di una bicicletta, ai giganteschi alternatori che producono potenze enormi, tutti
questi apparati sono basati su questo principio. E' sufficiente muovere un magnete davanti ad una
spira di rame, che si ottiene una corrente elettrica !!!
Si ha così che l'energia meccanica si trasforma in energia elettrica.
Se poi consideriamo che l'energia che si utilizza, trasformandola, per produrre gran parte dell'energia
elettrica che sostiene il nostro progresso, sfruttando appunto il fenomeno dell'induzione magnetica,
proviene dalla caduta dell'acqua lungo una condotta forzata nelle centrali idroelettriche, o dal
bruciare combustibili fossili nelle centrali termoelettriche, arriviamo alla stupefacente conclusione
che noi ricaviamo l'energia elettrica dall'energia che il sole continuamente ci invia sotto forma
di radiazione elettromagnetica (luce).
Il sole scalda l'acqua del mare e fa salire il vapore acqueo che acquista energia potenziale. Il vapore si
condensa e cade al suolo sotto forma di pioggia e neve. L'acqua che cade in montagna viene trattenuta
dalle dighe per cui conserva una grande energia potenziale. Scendendo nelle condotte forzate, l'acqua
perde la propria energia potenziale che si trasforma in energia cinetica in grado di fare ruotare le turbine
che azionano un alternatore il quale non è altro che un grande magnete che viene fatto così ruotare di
fronte a delle spire di rame. Così, per induzione magnetica, si produce elettricità a partire dall'energia
del sole che esso ci invia sotto forma di luce (onde elettromagnetiche).
Per quanto riguarda l'uso dei combustibili fossili, il discorso è in questi termini. Nei milioni di anni passati,
le piante con clorofilla hanno ricavato carbonio dall'atmosfera utilizzando l'energia solare (ancora la luce)
attraverso la cosiddetta sintesi clorofilliana. Quelle piante sono poi morte ed hanno costituito immensi
giacimenti di carbone e petrolio (che quindi è in gran parte costituito da quel carbonio "rubato" da quelle
piante all'aria grazie all'energia solare. Oggi noi, bruciando carbone e petrolio, rimettiamo nell'atmosfera
tutto quel carbonio così a lungo immagazzinato consumando l'ossigeno (che si ricombina col carbonio
formando l'anidride carbonica che ritorna così nell'atmosfera) e producendo una grande energia termica.
Questa energia viene poi usata per fare bollire l'acqua che, producendo così vapore ad alta temperatura
e velocità, è in grado di muovere le turbine degli alternatori e così ottenere energia elettrica.
Lasciamo al lettore volenteroso la "meditazione" di come si può ottenere energia elettrica dall'energia
atomica (sia tramite la fissione che la fusione nucleare), dal vento, direttamente dalla luce, dal geotermico
ecc. e da dove in definitiva, questa energia proviene.
4' equazione di Maxwell.
La quarta equazione di Maxwell si può esprimere nel seguente modo :
la circuitazione del campo magnetico lungo il bordo di una superficie aperta è proporzionale
alla somma della variazione nell'unità di tempo del flusso del campo elettrico sulla superficie
stessa più il flusso della corrente elettrica sulla superficie stessa.
Simbolicamente si può scrivere :
dove C indica la circuitazione,
indica la variazione nell'unità di tempo e
indica il flusso. I indica
la corrente elettrica.
Naturalmente, E indica il campo elettrico ed H indica il campo magnetico.
Questa equazione mostra che è possibile "creare" un campo magnetico oltre che variando il flusso
del campo elettrico, anche con una corrente elettrica.
Si hanno cioè due casi che possono essere anche compresenti.
Creazione del campo magnetico a causa della variazione del flusso elettrico, ovvero il fenomeno
dell'induzione elettrica :
Campo magnetico creato da una corrente elettrica :
Anche questi fenomeni hanno innumerevoli applicazioni tecnologiche che non prenderemo qui in
considerazione.
02 - Onde elettromagnetiche.
Osservando la forma matematica delle equazioni di Maxwell si vede bene che è presente la costante c ,
ovvero la velocità della luce. Ulteriori considerazioni matematiche permisero a Maxwell di ipotizzare
l'esistenza delle onde elettromagnetiche che solo successivamente furono verificate sperimentalmente
da Hertz.
Questo è un esempio eclatante di come, nella fisica moderna, spesso la matematica in sé permetta di
immaginare e prevedere fenomeni sconosciuti che poi solo successivamente vengono verificati
sperimentalmente.
Altrove, in questo corso, abbiamo parlato delle onde elettromagnetiche per cui non ne proseguiamo qui
l'analisi, accontentandoci di una loro conoscenza superficiale.
03 - Le equazioni di Maxwell sono anche ... belle.
Ecco qui di seguito la forma matematica esatta delle 4 equazioni di Maxwell.
Le diamo, anche se la loro comprensione esula dallo scopo divulgativo di questo corso, perché hanno
in sé una "bellezza" nella loro stessa formulazione, nei simboli che le costituiscono, a dimostrazione che
la matematica è anche arte !!!
