Continuiamo l'approfondimento sui principi e le caratteristiche fondamentali della meccanica classica.
- h - quantità di moto
La conservazione della quantità di moto (detta anche impulso) è deducibile matematicamente
direttamente dal principio di omogeneità dello spazio.
Il principio di conservazione della quantità di moto esprime empiricamente la tendenza che hanno
i corpi di mantenere costante la velocità del loro centro di massa.
La quantità di moto è il prodotto fra la massa e la velocità. Si ha cioè :
p = m · v
dove m è la massa, v la velocità e p è la quantità di moto. L'unità di misura della quantità di moto
è di conseguenza kg · m / s .
Consideriamo un punto materiale di massa m in moto con velocità v rispetto ad un opportuno
sistema di riferimento. Poiché la velocità è un vettore, si deduce che anche la quantità di moto è un
vettore.
Se la massa è pari a 1 kg , moltiplicando v per 1 si ottiene un vettore quantità di moto identico al
vettore velocità. Se la massa è pari a 2 kg , si ottiene un vettore quantità di moto doppio del vettore
velocità. Se la massa è pari a 0.5 kg , si ottiene un vettore quantità di moto metà del vettore velocità.
Quanto affermato vale ovviamente se per semplicità si riferiscono le due unità di misura di velocità e
quantità di noto ad uno stesso segmento campione.
Consideriamo ora un sistema isolato formato da 3 punti materiali che interagiscono fra loro. Per
comodità di grafica supponiamo che i tre punti giacciano su di un piano su cui è definito un sistema
di riferimento inerziale di coordinate cartesiane oxy . In un certo istante t la "fotografia" del sistema
sarà :
dove
sono le
masse dei tre punti materiali, 
le loro velocità e 
le loro
quantità di moto.
Le considerazioni che faremo, varranno naturalmente per un sistema isolato formato da un numero qualunque
di punti materiali.
Calcoliamo ora la quantità di moto totale del sistema considerata come la somma vettoriale delle
quantità di moto dei singoli punti materiali che costituiscono il sistema. Avremo allora :
dove P indica la quantità di moto totale del sistema (si dice semplicemente quantità di moto del sistema)
e la somma fra le
è la somma vettoriale fatta con la regola del parallelogramma.
La rappresentazione grafica del vettore P è la seguente :
(i tre vettori
sono stati preventivamente trasportati parallelamente in modo da farli
avere
una origine comune in un punto qualunque).
Orbene, per un sistema isolato la quantità di moto totale non cambia nel tempo, essa si conserva.
Allo scorrere del tempo, i punti materiali, interagendo fra loro, hanno la loro velocità, e quindi anche la
quantità di moto, che varia istante per istante. La somma (vettoriale) delle quantità di moto dei singoli
punti materiali, però, non cambia nel tempo.
Questo è il contenuto del principio di conservazione della quantità di moto.
Se, istante per istante, il vettore P non cambia, possiamo considerare un sistema isolato come un
unico punto materiale, la cui massa M è la somma di tutte le singole masse dei punti materiali che lo
compongono, in moto con quantità di moto P . Siccome la massa totale M non cambia, non cambiando
la quantità di moto totale P , la velocità V del punto materiale in cui si può considerare "concentrato"
il sistema, di conseguenza non varierà.
Possiamo allora considerare un sistema isolato come un solo punto di massa M uguale alla somma di
tutte le masse dei singoli punti che lo costituiscono, in moto rettilineo uniforme con velocità V pari al
rapporto P / M .
La massa totale di un un sistema isolato si può considerare concentrata nel suo centro di massa (o
baricentro).
Come esempi del principio di conservazione della quantità di moto possiamo riportare il motore a
reazione ed il gioco del biliardo.
Consideriamo un missile sulla rampa di lancio prima della partenza. La sua quantità di moto è
evidentemente zero perché la sua velocità è zero. Alla partenza, viene acceso il propellente e
dall'ugello comincia ad uscire gas ad altissima velocità. Questo gas è costituito da un numero
enorme di molecole ciascuna dotata di una piccolissima massa ma di una velocità altissima.
Si ottiene così, facendo la somma di tutte le singole quantità di moto delle molecole, una quantità
di moto totale molto grande.
A questo punto, per il principio di conservazione della quantità di moto, il missile deve anche lui
"dotarsi" di una quantità di moto uguale e contraria (in verso) in modo da ottenere una quantità
di moto complessiva (quella del gas che fuoriesce e quella del missile) sempre nulla. Nulla era
la quantità di moto iniziale e nulla deve essere dopo la partenza.
Missili, aerei a reazioni ecc. quindi si muovono a causa del principio della conservazione della quantità
di moto !!! Un motore a reazione non ha bisogno, a differenza dei motori ad elica, di un mezzo quale
l'aria da avvitare, ma funzionano anche nel vuoto.
Il gioco del biliardo ed in generale tutti gli urti cosiddetti elastici, cioè senza che avvengano delle
deformazioni nei corpi interessati all'urto, possono essere visti alla luce del principio di conservazione
della quantità di moto.
Consideriamo una palla da biliardo che urta una palla ferma. La quantità di moto prima dell'urto è
quella della sola palla in moto. Dopo l'urto, le due palle proseguiranno ciascuna con la propria
quantità di moto ma la somma (vettoriale) di queste due quantità di moto sarà sempre uguale
alla quantità di moto prima dell'urto.
A questo punto si potrebbero fare anche interessanti considerazioni sugli angoli delle traiettorie di
uscita delle palle dopo l'urto !!!
Terminiamo dicendo che anche gli urti fra particelle atomiche e subatomiche si studiano alla luce
del principio di conservazione della quantità di moto.
- i - momento della quantità di moto
La conservazione del momento della quantità di moto (detta anche momento angolare) è
deducibile matematicamente direttamente dal principio di isotropia della spazio.
Il principio di conservazione del momento della quantità di moto esprime empiricamente la tendenza
che hanno i corpi che ruotano su se tessi, attorno ad un asse, di farlo indefinitamente.
La definizione matematica di momento della quantità di moto non è semplice. Poniamoci allora in
una situazione privilegiata, la più semplice possibile. Immaginiamo un punto materiale di massa m che
ruota attorno ad un punto O ad una distanza da esso pari a r e con velocità costante v . La sua
quantità di moto sarà allora p = m · v . Supponiamo che la rotazione avvenga in modo antiorario :
Il momento della quantità di moto è allora :
m = r · p .
Se un corpo è dotato di molti punti materiali, per calcolare il momento della quantità di moto
complessiva basta fare la somma dei singoli momenti della quantità di moto dei singoli punti
materiali. Questo, però, è complicato dal fatto che il momento della quantità di moto è un vettore
di tipo "più complicato" di quelli visti finora. Per non entrare nei particolari, mostriamo come si calcola
il momento della quantità di moto in un caso particolare molto semplice : un disco rotante molto sottile.
Immaginiamo allora un disco che ruota attorno al suo asse. Il disco può essere pensato come composto
da un numero infinito di punti materiali ciascuno dei quali dotato del proprio momento della quantità di
moto che si calcola, come sappiamo, moltiplicando la propria distanza dal centro per la propria quantità
di moto. Il momento della quantità di moto totale sarà allora la somma degli infiniti momenti della
quantità di moto degli infiniti punti materiali che costituiscono il disco.
Si noti che in questo caso, come nel precedente, il raggio condotto dal centro di rotazione ad un punto
materiale è sempre perpendicolare alla corrispondente quantità di moto. E' proprio grazie a questa
particolarità che è possibile definire una formula semplice per il momento della quantità di moto.
Orbene, in un sistema isolato, il momento della quantità di moto si conserva, cioè, nonostante il
sistema evolva, grazie alle interazioni fra i punti materiali che lo costituiscono, esso (il momento) rimane
invariato nel tempo.
Questa affermazione va sotto il nome di principio di conservazione del momento della quantità di
moto.
Come esempi di applicazione di questo principio diamo la spiegazione del perché una pattinatrice su
ghiaccio, ruotando su se stessa, aumenti o diminuisca la velocità di questa rotazione a seconda che
avvicini o allontani le braccia da sé.
Altri esempi di applicazione del principio di conservazione del momento della quantità di moto sono
le trottole che tendono a ruotare indefinitamente e il nostro pianeta terra che ruota su se stesso
facendo un giro al giorno in maniera "quasi" perfetta. In effetti, sia una semplice trottola che un pianeta
non sono sistemi isolati, per cui la loro rotazione è "disturbata" più o meno intensamente. Per una
trottola, l'interazione col tavolo su cui la pongo a ruotare è la causa principale della cessazione della
sua rotazione.
Per un pianeta, ciò che disturba sono vari fattori. Per la terra, il disturbo è dato oltre che dalla luna,
anche dalla non perfetta sfericità della terra stessa e dalla sua non omogeneità in termini di densità
di materia. Risultato di ciò è una lentissima oscillazione a forma di cono con ulteriori minori oscillazioni
sinusoidali dell'asse terrestre con le note implicazioni astronomiche che vanno sotto il nome di "precessione
degli equinozi".
Ma ritorniamo alla nostra pattinatrice che possiamo paragonare ad un corpo in rotazione attorno
ad un centro fisso come nel primo esempio dato sopra. Siccome il momento della quantità di moto
si deve conservare, se la pattinatrice allarga le braccia è come se aumentasse il raggio r . Aumentando
il raggio r , perché il momento della quantità di moto m rimanga costante, essendo m = r · p , deve
diminuire p , la quantità di moto, cioè la velocità di rotazione deve diminuire.
Ecco così spiegato fisicamente un curioso fenomeno molto spettacolare !!!
Fine.