Continuiamo l'approfondimento sui principi e le caratteristiche fondamentali della meccanica
classica.
Consideriamo un sistema isolato (che non interagisce con l'esterno) riferito ad un sistema di
riferimento inerziale. Per un tale sistema vi sono 3 grandezze che non cambiano nel tempo,
nonostante i punti materiali che costituiscono il sistema si muovano continuamente risentendo
delle interazioni (forze) fra di essi.
Queste 3 grandezze costanti sono : l'energia, la quantità di moto (detta anche impulso) ed il
momento della quantità di moto (detto anche momento angolare).
Esse, quindi, nonostante il sistema isolato evolva continuamente, non cambiano nel tempo.
Rimangono costanti e per questo si dice anche che si conservano.
- g - energia
Il concetto di energia e della sua conservazione deriva direttamente dal principio di omogeneità
del tempo. La dimostrazione di questo, essendo prettamente matematica, esula dallo scopo di
questo corso, per cui considereremo questa affermazione vera senza dimostrazione.
Vi sono due tipi di energia : l'energia cinetica e l'energia potenziale.
L'energia di un sistema isolato è data dalla somma della sua energia cinetica più la sua
energia potenziale, cioè :
dove E indica l'energia (totale) del sistema, T la sua energia cinetica ed U la sua energia potenziale.
L'energia E di un sistema isolato, quindi, rimane costante nel tempo. Durante lo scorrere del tempo
l'energia cinetica T del sistema cambierà continuamente così come la sua energia potenziale U
ma la loro somma rimarrà sempre costante.
Questo è il significato profondo del principio di conservazione dell'energia.
L'energia cinetica è dovuta esclusivamente al fatto che un corpo si muove (rispetto ad un sistema
di riferimento). Essa dipende dalla massa del corpo e dalla sua velocità.
Un punto materiale di massa m in moto con velocità v ha energia cinetica :
.
Supponiamo per esempio che un corpo di massa 1 kg si muova con velocità 1 m/s . La sua
energia cinetica sarà allora semplicemente :
T = 0.5 · 1 · 1 ² = 0.5 joule (J)
(l'unità di misura dell'energia nel sistema internazionale è il joule (J)).
Si noti il fatto molto importante che se la velocità raddoppia, l'energia cinetica quadruplica, se la
velocità triplica l'energia cinetica diventa 9 volte ecc. L'energia cinetica è quindi direttamente
proporzionale al quadrato della velocità.
Questo fatto è molto importante, e lo dovremmo tenere ben presente quando guidiamo l'automobile !!!
Supponiamo, malauguratamente, di urtare un ostacolo fermo, per esempio un muro. Nell'istante
dell'urto, l'auto (con tutto ciò che contiene ed, ahimè, anche noi) possiede una certa velocità v .
Alla fine dell'urto la velocità dell'auto (di ciò che rimane) è zero. Dove è "andata" l'energia cinetica T
che l'auto aveva al momento dell'urto e che è data dalla nota formula ? Noi sappiamo che in natura
nulla si crea e nulla si distrugge (Lavoisier) per cui questa energia deve essere andata da qualche
parte. Essa si è "distribuita" in molti "effetti" : calore, deformazioni delle strutture dell'auto, del muro e,
purtroppo, dei nostri corpi ...
Le deformazioni prodotte dall'urto sono modifiche dei legami chimici (quindi elettrici) fra i vari
componenti in gioco.
E questo in maniera dipendente dal quadrato della velocità, per cui se si urta un muro ai 100 all'ora
invece che ai 50 , non si ha un effetto devastante doppio, bensì quadruplo !!!
Per cui, attenzione, moderiamo la velocità !!!
Infine, l'energia cinetica è direttamente proporzionale alla massa.
L'energia potenziale dipende esclusivamente dal fatto che i corpi, e le loro parti, interagiscono fra
loro a causa delle forze che agiscono in natura (gravitazione, elettromagnetismo, nucleare).
L'energia potenziale dipende allora dai tipi di forze in gioco e dalle distanze fra i corpi (e fra i
componenti dei corpi). Per questo motivo non esiste una formula matematica unica per l'energia
potenziale così come si ha per l'energia cinetica. Ogni tipo di forza ha la propria formula dell'energia
potenziale.
Consideriamo ora un caso realistico di un sistema isolato composto da soli 3 punti materiali e
studiamone l'energia. Un sistema formato da molti più punti materiali sarà sicuramente più complesso,
ma sarà concettualmente analogo a questo semplice sistema a 3 corpi.
I tre punti materiali possono essere, ovviamente, in qualunque punto geometrico dell'usuale spazio
tridimensionale, però noi, per esigenze di semplicità grafica, supporremo che i tre punti si trovino
su di un piano sul quale tracceremo un sistema di riferimento cartesiano 0xy . Questa limitazione
non influisce sulle considerazioni che faremo.
Possiamo allora disegnare il sistema isolato in questione ad un certo istante t . I tre punti materiali
avranno ciascuno la propria massa, e ciascun punto sarà dotato in quell'istante di una certa velocità.
Inoltre fra i punti materiali agiscono delle forze che dipendono dal tipo di interazione presente
fra esse (gravitazionale ecc.). Supponiamo che il tipo di forza in gioco sia quella gravitazionale,
per cui le forze fra i punti materiali sono attrattive.
A questo punto, teniamo presente un dato di fondamentale importanza. Sia le velocità che le forze
sono dei vettori.
I vettori sono fra gli oggetti matematici più importanti e costituiscono le basi matematiche su cui è costruita
la fisica. Un vettore è rappresentato da un segmento dotato di freccia (orientato). Un vettore ha quindi
una direzione (la retta su cui giace), un verso (quello indicato dalla freccia) ed una intensità (o modulo,
la lunghezza del segmento che, rispetto ad una certa unità di misura, determina il valore della grandezza
fisica che è rappresentata dal vettore stesso).
I vettori si possono sommare fra loro utilizzando la cosiddetta regola del parallelogrammo :
per cui, dati i vettori a e b si ottiene la loro somma o risultante a + b nel modo indicato in figura,
semplicemente disegnando un parallelogrammo e prendendone la diagonale principale.
Questa regola è derivata direttamente dallo studio delle proprietà delle forze.
Per il nostro sistema isolato formato da 3 corpi abbiamo allora al tempo t , per esempio, la seguente
situazione :
dove
sono le masse
dei tre punti materiali, 
sono le loro velocità e 
sono le forze risultanti dalle forze di interazione fra i punti materiali a due a due.
Tutto ciò è all'istante t ed è come se si facesse una "fotografia" del sistema in quell'istante.
Le forze risultanti
sono ottenute applicando la regola del parallelogramma a partire dalle
singole forze con cui i 3 punti materiali interagiscono fra loro e che sono "applicate" nei singoli punti.
Nel nostro caso, ogni punto materiale risente dell'interazione (forza) di ciascuno altro, per cui su ogni
punto agiscono due forze di cui si fa poi la risultante.
Si noti anche che il punto 1 attira (nel nostro esempio la forza è quella gravitazionale) il punto 2
ed il punto 2 attira il punto 1 con una stessa forza ma di verso contrario (la direzione è quella
della retta congiungente i due punti). Idem fra 1 e 3 e fra 2 e 3 .
Calcoliamo ora l'energia (complessiva) di questo sistema. Essa sarà data dalla somma delle
energie cinetiche dei singoli punti materiali più la somma delle energie potenziali dei medesimi.
Si può scrivere allora :
dove con U intendiamo l'energia potenziale complessiva di cui non diamo per semplicità la formula
matematica (nell'esempio abbiamo considerato i punti materiali soggetti alla forza gravitazionale).
Al trascorrere del tempo il sistema evolve ed i punti materiali tracciano traiettorie continue :
Istante per istante le velocità dei tre punti cambiano con continuità e così cambiano anche le loro
posizioni. Ciò significa che, istante per istante, l'energia cinetica del sistema e la sua energia potenziale
cambiano si conseguenza.
Per il principio di conservazione dell'energia possiamo però affermare che l'energia totale del sistema,
che è la somma di energia cinetica e potenziale, non cambia allo scorrere del tempo.
Consideriamo ora il campo gravitazionale presente sulla superficie terrestre e nelle sue immediate
vicinanze (alcune centinaia di metri) all'interno del quale si svolge la nostra vita e che per questo è
l' "ambiente" della nostra esperienza quotidiana.
Siccome questo campo dipende dalla distanza che i vari corpi hanno rispetto al centro della terra, ed
essendo tale distanza molto grande (circa 6500 km) rispetto alle possibili quote a cui possiamo porre
i corpi in questione (entro il limite di pochi centinaia di metri che ci siamo posti), il campo gravitazionale
qui, sulla superficie della terra, si dice uniforme.
Se noi poniamo un corpo ad un metro rispetto alla superficie terrestre o lo poniamo a cinque metri da
essa, essendo la differenza di distanze fra le due posizioni ( 4 metri) trascurabile rispetto alla distanza
dal centro della terra, la forza di gravità con cui la terra attrae a sé questo corpo (il peso del corpo)
sarà "praticamente" lo stesso nelle due posizioni.
Consideriamo ora un corpo di massa m ad una quota h rispetto alla superficie terrestre. Per
comodità facciamo coincidere questa superficie con il pavimento dell'aula in cui si svolge questo
corso. Se prendessimo qualunque altro piano di riferimento, purché parallelo alla superficie terrestre,
le considerazioni che stiamo per fare non cambierebbero.
Supponiamo che il corpo sia inizialmente fermo (velocità nulla) :
L'energia cinetica del corpo è allora inizialmente nulla.
D'altra parte, il corpo si trova immerso nel campo gravitazionale per cui avrà una certa energia potenziale
che dipende dalla quota del corpo stesso.
La formula dell'energia potenziale in questo caso è molto semplice (ne omettiamo la dimostrazione) :
dove g è la cosiddetta accelerazione di gravità che vale circa 10 m/s² .
All'istante iniziale allora l'energia del corpo è :
E = T + U
dove T è zero perché in quell'istante il corpo è fermo ed U vale mgh . Sara allora :
E = 0 + mgh = mgh .
Ora lasciamo cadere il corpo. Cosa succederà nell'istante in cui esso toccherà il pavimento ?
In quell'istante esso avrà raggiunto una velocità v e quindi una energia cinetica
.
La sua energia potenziale sarà però zero, perché la quota del pavimento è h = 0 .
All'istante finale si avrà :
.
Ma poiché l'energia ( E = T + U ) si conserva ed era E = mgh , si deduce che :
.
Si vede quindi che l'energia potenziale si è trasformata in energia cinetica !!! Nulla si crea e nulla
si distrugge, ma tutto si trasforma.
Lasciamo al lettore volenteroso di calcolare da questa uguaglianza la velocità con cui il corpo tocca
terra.
Fine.