Consideriamo una superficie (varietà) V² immersa in R³ . Sia R³ dotato di un sistema di coordinate
cartesiane e l'equazione parametrica della V² sia :
.Consideriamo i punti
, 
di R² ed i corrispondenti punti 
, 
di R³ posti sulla superficie. Graficamente :
Il segmento P'Q' , essendo du e dv infinitesimi così come, di conseguenza, dx , dy e dz , è esso
stesso infinitesimo. Esso viene indicato con ds e viene denominato elemento infinitesimo di distanza.
Per quanto detto scriviamo :
ds = P'Q' .
Siccome l'elemento ds è infinitesimo, esso giace "praticamente" sulla superficie. In effetti il segmento
P'Q' che in R³ congiunge i punti P' e Q' si distacca dalla superficie, ma, considerando i suddetti
punti infinitamente vicini, si può considerare che il segmento P'Q' giaccia veramente sulla superficie.
L'errore che si compie facendo questa affermazione diminuisce sempre più (tende a zero) quanto
più i due punti sono vicini.
Siamo giunti allora alla seguente fondamentale affermazione :
L'elemento ds è elemento infinitesimo di distanza sia in R³ che in V² . Ovvero esso
determina la metrica sia in R³ che in V² .
Calcoliamo ora la lunghezza dell'elemento ds considerato come segmento P'Q' di R³ . Essendo
la metrica euclidea si ha :
.
D'altra parte, essendo le coordinate cartesiane x, y, z funzioni di u e v (le coordinate curvilinee
della varietà), applicando la definizione di differenziale si ha :
.
Possiamo allora sostituire queste formule nella precedente ed ottenere (con alcune semplici semplificazioni) :
.
02 - Tensore metrico di una V² .
L'espressione di ds² appena trovata può essere espressa in una forma migliore e più sintetica se
introduciamo la matrice (per matrice si intende un "riquadro" di numeri) :
dove :
.
Con queste definizioni la formula dell'elemento infinitesimo di lunghezza (al quadrato) diventa (scritta
in un modo conveniente) :
.
La matrice
si chiama tensore metrico della varietà.
Esempi :
- 1 - Il piano 0xy .
Una equazione parametrica di tale piano è :
.
Il tensore metrico della varietà risulta (omettiamo i calcoli) :
.
Si tratta di un semplice caso di tensore metrico e corrisponde ad una varietà euclidea
dotata di coordinate cartesiane.
- 2 - Piano generico in R³ .
Una rappresentazione parametrica di tale piano è :
dove le tre equazioni sono lineari (di primo grado in u e v) ed a, b, c, a', b', c', a'', b'', c''
sono costanti date.
Il tensore metrico di tale varietà è (omettiamo i calcoli) :
.
- 3 - Superficie sferica.
Prendiamo in considerazione la rappresentazione parametrica della superficie sferica in
coordinate "latitudine-longitudine" :
.
Il tensore metrico corrispondente è (omettiamo i calcoli) :
.
Si noti la particolare "semplicità" di tale tensore e l'assenza della coordinata curvilinea v
(longitudine).
Il tensore metrico
di una varietà ha le seguenti importanti proprietà :
- 1 - Il tensore metrico determina, contiene in sé, tutte le proprietà metriche della varietà
perché con esso si "costruisce" l'elemento di distanza ds .
- 2 - Il tensore metrico è simmetrico. Infatti
(nel caso di V² , 
),
- 3 - Il tensore metrico contiene in sé solo le coordinate curvilinee u, v della varietà (le
derivate parziali che costituiscono il tensore metrico sono funzioni solo di u e v ) e non
contiene le coordinate x, y, z dello spazio euclideo R³ che la contiene. Questo è un fatto
di fondamentale importanza che è coerente con i dettami della geometria intrinseca (Gauss).
Secondo la geometria intrinseca, le proprietà metriche di una varietà non dipendono dallo
spazio euclideo in cui è immersa la varietà, ma sono proprietà specifiche, intrinseche,
della varietà stessa. Addirittura, anche deformando (senza "romperla") la varietà, le sue
proprietà metriche intrinseche rimangono tali. Tali proprietà si devono quindi esprimere solo
in funzione delle coordinate curvilinee della varietà.
- 4 - L'elemento ds è un invariante, esso non dipende dalla scelta delle coordinate curvilinee
sulla varietà. Anche questo è di fondamentale importanza ed è per ciò che la matematica degli
spazi curvi fu chiamata da Ricci-Curbastro e Levi-Civita "calcolo differenziale assoluto"
prima ancora di venire chiamata calcolo tensoriale.
03 - Estensione ad una
.
I risultati fin qui trovati, possono essere estesi a varietà
di qualunque dimensione. Il caso di V²
rappresenta quindi un semplice "modello" su cui "lavorare" e da cui dedurre proprietà e formule che
poi possono essere direttamente generalizzate a n dimensioni. Le formule sono le stesse e basta
semplicemente aggiungere le dimensioni mancanti.
Lo spazio-tempo di Einstein della teoria della relatività, per esempio, è una varietà a 4 dimensioni
, ma le formule
relative alle sue proprietà metriche sono le stesse delle V² .
La ragione matematica di ciò sta nel fatto che una
può essere sempre considerata immersa in
uno spazio euclideo a m dimensioni
(con 
).
La rappresentazione parametrica di una
risulta allora :
dove con
abbiamo indicato le coordinate curvilinee di un generico punto della
varietà
mentre con 
abbiamo indicato le coordinate cartesiane del medesimo punto in .
L'introduzione di questo formalismo a indici diventa necessario perché siamo di fronte ad un numero
non definito di dimensioni.
Si noti che gli indici delle coordinate curvilinee sono posti in alto. Questo non ha nulla a che fare con
l'elevamento a potenza !!! Si tratta solo di indici posti in alto, ed il perché di questo risulterà più chiaro
in seguito.
Ritornando un attimo al caso di una V² immersa in R³ , l'equazione parametrica della varietà espressa
con il nuovo formalismo risulta :
e la relativa metrica risulta :
.D'ora in poi useremo il nuovo formalismo o il vecchio a seconda delle necessità.
La metrica della varietà
, scritta con il nuovo formalismo, sarà allora :
dove la sommatoria va eseguita sugli indici i e k a partire da 1 fino ad n . Si noti che gli indici delle
coordinate curvilinee sono posti in alto mentre quelli del tensore metrico sono posti in basso.
Gli indici in alto si dicono controvarianti, mentre quelli in basso di dicono covarianti. Per convenzione,
gli indici delle coordinate curvilinee sono controvarianti e quindi vanno scritti in alto. Il perché il tensore
metrico abbia indici covarianti lo possiamo "intuire" considerando che indici controvarianti ed indici covarianti
si "saturano" formando uno scalare (una grandezza senza indici). Non approfondiremo oltre l'algebra
tensoriale perché ciò esulerebbe dallo scopo semplicemente "introduttivo" di questo corso.
La metrica scritta sopra si chiama metrica di Riemann e le varietà che hanno tale metrica si chiamano
varietà riemanniane.
E' possibile una semplificazione formale della forma della metrica che va sotto il nome di convenzione di
Einstein. Questa semplificazione consiste semplicemente nel non scrivere il segno di sommatoria per
gli indici ripetuti. Si può quindi scrivere :
dove si sottintende appunto la sommatoria sugli indici i e k .
Si tenga sempre presente, infine, che il tensore metrico
ha n² componenti ed è simmetrico, per cui :
.
04 - Vettori di superficie (di varietà).
Come si possono definire i vettori negli spazi curvi ? Cercheremo una definizione di vettore che
sia una generalizzazione di quella degli spazi euclidei e che si riduca ad essa quando lo spazio è piatto
(euclideo).
Consideriamo una V² , un suo punto P ed un ordinario vettore R di R³ che sia tangente alla V² in
P . Graficamente :
Le componenti di R secondo i tre assi cartesiani coordinati siano
e la
lunghezza (modulo)
del vettore sia R (non vi è ambiguità usando la stessa lettera per indicare il vettore e la sua lunghezza).
In uno spazio curvo, il segmento che congiunge due suoi punti infinitamente vicini può fungere da
"vettore elementare". Se prendessimo invece un segmento (un arco) non infinitesimo, esso, dovendo
seguire la curvatura dello spazio, non potrebbe rappresentare un vettore.
Ecco perché abbiamo preso un vettore R tangente alla varietà in un suo punto. Ricordiamo infatti che
si può immaginare che un segmento (vettore) tangente ad una superficie in un suo punto abbia con essa
due punti in comune infinitamente vicini (uno dei quali è il punto di tangenza stesso). Questi due punti
infinitamente vicini, P e Q , costituiscono un "vettore elementare" della varietà.
(per esigenze grafiche, la componente dz la indichiamo sull'asse z senza tracciarne i segmenti che ne
congiungono gli estremi con P e Q )
Esprimiamo ora le componenti di R in funzione di
, che sono le componenti del segmento
(vettore) PQ infinitesimo di contatto fra R e la varietà.
Per dedurre la relazione fra le
e le
, rifacciamoci al caso di R² :
A causa di evidenti similitudini fra triangoli rettangoli, possiamo scrivere :
dove R indica il modulo del vettore R . Ritornando a R³ , abbiamo allora :
.
I rapporti
sono detti coseni direttori ed esprimono i coseni degli angoli che il
vettore
R forma con gli assi coordinati.
A questo punto siamo in grado di dare una definizione di vettore su di una varietà. Naturalmente
questa definizione dovrà contenere solo le coordinate curvilinee della varietà (oltre che al modulo
del vettore ed all'elemento ds ) e questo in ottemperanza ai principi della geometria intrinseca.
Riportiamo nel grafico, per maggiore chiarezza, anche il "puntamento" alle coordinate curvilinee della
varietà :
Un vettore di V² , in analogia con uno di R³ , sarà allora :
dove R rappresenta ancora il modulo del vettore (si notino gli indici controvarianti di R ).
Se la V² fosse euclidea (un piano) allora le
sarebbero (prese le coordinate u e v nel modo
più opportuno) i coseni direttori e quindi si avrebbe ancora la usuale definizione di un vettore in R² (il
piano ha due dimensioni).
Esprimiamo ora il legame fra le componenti
e le componenti 
del vettore R .
Ricordando che :
con una semplice sostituzione si ottiene :
.
Terminiamo l'argomento mostrando le relazioni che intercorrono fra il modulo del vettore R e le
sue componenti in R³ ed in V² .
In R³ :
,
per il teorema di Pitagora.
In V² , ricorrendo alla notazione
e ricordando che ,
si ottiene,
dividendo ambo i membri per ds² :
e quindi :
dove si deve ricordare di sommare sugli indici ripetuti.
05 - Spostamento parallelo. Simboli di Christoffel.
Una volta definito un vettore su una varietà, il prossimo passo è quello di vedere come esso possa essere
spostato parallelamente da un punto della varietà ad un altro infinitamente vicino.
Nel caso di una varietà euclidea, lo spostamento parallelo è di immediata definizione. In R² , per esempio :
Il vettore che si ottiene ha le stesse componenti del vettore di partenza.
Per i vettori delle varietà, il concetto di spostamento parallelo non è così semplice dato che, in generale,
una varietà è curva. Per esempio, sulla superficie sferica, seguendo un meridiano, si ottiene :
Consideriamo il vettore R tangente alla varietà V² nel punto P . Esso, oltre che essere tangente alla
varietà, giacerà anche sul piano tangente ad essa nel punto P . Consideriamo un punto Q della varietà
infinitamente vicino a P . Uno spostamento parallelo di R lungo il cammino infinitesimo PQ , comunque
sia definito, darà luogo ad un nuovo vettore tangente alla varietà in Q e giacente sul piano tangente alla
varietà in Q . Graficamente :
I due piani tangenti alla V² in P e Q si intersecheranno in una retta (chiamiamola r ) . Fra tutte le
"possibilità" di definire il trasporto parallelo del vettore R lungo il cammino infinitesimo PQ , scegliamo
quella per cui lo spostamento parallelo è definito come la semplice rotazione infinitesima del vettore
R attorno alla retta r secondo l'angolo formato dai due piani.
Graficamente :
(per esigenze grafiche abbiamo "enfatizzato" l'entità della rotazione e la distanza fra P e Q ).
In uno spostamento parallelo il vettore R viene trasformato nel vettore R' e la differenza fra i due vettori è :
dR = R' - R .
Le componenti di dR , considerato come vettore di R³ , sono facilmente calcolabili (omettiamo per brevità
la trattazione). La definizione delle componenti di dR , inteso come vettore di superficie, porta ad un calcolo
molto complesso. Riportiamo qui solo il risultato :
dove si deve come al solito fare la somma sugli indici ripetuti.
Nella formula dello spostamento parallelo, formula fondamentale del calcolo tensoriale, appaiono le
grandezze
.
Esse sono dette simboli di Christoffel. Si tratta di funzioni del tensore
metrico e dellesue derivate prime rispetto le coordinate curvilinee. Scriveremo simbolicamente :
(gli indici sono posti a caso).
Per chi desidera approfondire, il significato delle grandezze che entrano nella formula dello spostamento
parallelo è il seguente :
- 1 -
sono le componenti, in coordinate curvilinee, del vettore infinitesimo dR che rappresenta la variazione del vettore R nello spostamento parallelo.
- 2 - I simboli di Christoffel
e valgono :
(fare le
somme sugli indici ripetuti)
dove le
sono le componenti controvarianti del tensore metrico (per definizione 
è la
matrice inversa del tensore
,
per cui 
,
essendo 
la delta di Kronecker
uguale a 0 se
e uguale a 1 se 
).
- 3 -
sono le componenti rispetto alle coordinate curvilinee del vettore R
.
- 4 -
sono le componenti del segmento infinitesimo PQ in coordinate
curvilinee.
06 - Equazione della geodetica.
Siamo ora in grado di ricavare l'equazione della geodetica fra due punti della varietà. Nel caso di una
V² immersa in R³ :
Data la complessità della materia, ci limitiamo ad affermare che essa dipende dai simboli di Christoffel e
dalle derivate prime e seconde delle coordinate curvilinee della varietà.
Scriveremo simbolicamente l'equazione della geodetica nella seguente forma :
(gli indici sono posti a caso)
dove i punti sopra le coordinate curvilinee indicano le derivate (un punto, derivata prima, due punti, derivata
seconda)
Il perché l'equazione della geodetica contenga i simboli di Christoffell è legato al fatto che una geodetica,
oltre che essere definita come linea di minima distanza, può essere definita come linea composta tutta
da spostamenti autoparalleli.
Uno spostamento autoparallelo è uno spostamento parallelo che un vettore tangente compie lungo il segmento
infinitesimo formato dai due punti di tangenza con cui il vettore medesimo è tangente alla varietà.
07 - Spostamento lungo un circuito. Tensore di Riemann.
Se si fa compiere ad un vettore infiniti spostamenti paralleli lungo un circuito chiuso (una linea chiusa)
in uno spazio piatto (euclideo) si ottiene un vettore identico a quello iniziale. Per esempio, in R² :
Se si fa la stessa cosa in uno spazio curvo, si ottiene in generale un vettore che differisce da quello iniziale.
Un esempio eclatante di ciò si ha sulla superficie sferica. Graficamente, considerando il cammino chiuso
indicato in figura, il vettore iniziale R tangente alla varietà, diventa il vettore finale R' perpendicolare ad R :
(il vettore finale R' è stato tracciato in maniera distorta a causa della prospettiva).
Se si considera un circuito infinitesimo, la differenza fra i due vettori è "indice" della curvatura dello
spazio in un punto (quello in cui è posto il circuito infinitesimo).
Questo fatto è di estrema importanza e portò Riemann a definire un tensore, il tensore di Riemann
appunto, che descrive la curvatura di una varietà in un suo punto.
Consideriamo una V² immersa in R³ . Consideriamo un circuito infinitesimo che parte dal punto P
della V² . Il vettore tangente alla varietà in P compiendo uno spostamento parallelo lungo il
circuito si trasforma nel vettore tangente R' . Graficamente :
La definizione matematica del tensore di Riemann è molto complessa e la tralasceremo. Diremo solo che
il tensore di Riemann ha 4 indici e che è funzione del tensore metrico, dei simboli di Christoffel e delle
derivate dei simboli di Chistoffel secondo le coordinate curvilinee della varietà.
Simbolicamente :
(gli indici sono stati posti a caso).
E' interessante notare che il tensore di Riemann di una V² ha 16 componenti mentre in una
(il caso
dello spazio-tempo di Einstein) ha ben 256 componenti !
08 - Tensore di Ricci. Curvatura scalare.
Il tensore di Ricci è una particolare contrazione del tensore di Riemann ed è utile per descrivere certe
caratteristiche della curvatura di una varietà.
Il tensore di Ricci ha solo due indici ed è funzione del tensore metrico e del tensore di Riemann.
Simbolicamente :
(gli indici sono posti a caso).
Contraendo il tensore di Ricci si ottiene uno scalare (una grandezza senza indici) che è invariante rispetto
ad ogni cambiamento di coordinate curvilinee sulla varietà. Si ottiene cioè la cosiddetta curvatura
scalare R che è funzione del tensore metrico e del tensore di Ricci.
Simbolicamente :
(gli indici sono posti a caso).
Occorre precisare infine, che la descrizione della curvatura che si ottiene con il tensore di Ricci non è
"completa" come quella che si ottiene con il tensore di Riemann.
Per esempio, se una varietà è piatta, allora il suo tensore di Riemann è identicamente nullo in tutti i punti
della varietà e viceversa (cioè, se il tensore di Rieeman è nullo, allora la varietà è piatta).
Per il tensore di Ricci si ha invece che se una varietà è piatta, allora esso è nullo, mentre se esso è nullo,
non è detto che la varietà sia piatta.
09 - Equazione di Einstein.
Abbiamo raggiunto finalmente lo scopo di questo corso : avere acquisito gli strumenti matematici
relativi agli spazi curvi, per comprendere l'equazione di Einstein, l'equazione che descrive come le
masse incurvano lo spazio-tempo e come, di conseguenza, esse sono costrette a muoversi in questo
spazio-tempo incurvato.
Nello spazio-tempo quadridimensionale di Einstein (considerato come varietà
), l'equazione di
Einstein è:
dove
è
il tensore di Ricci,
è il tensore metrico, R è la curvatura scalare, k è la
costante
gravitazionale universale, c è la velocità della luce nel vuoto e
è il cosiddetto tensore dell'energia
e dell'impulso.
Il tensore dell'energia e dell'impulso esprime come le masse (e l'energia) sono distribuiti nello
spazio istante per istante e che velocità hanno.
L'equazione di Einstein descrive come la metrica dello spazio-tempo viene incurvata dalle masse
e come esse si muovono in questo spazio-tempo incurvato.
Si tratta di 16 equazioni che, a causa della simmetria dei tre tensori in gioco si riducono a 10 .
Inoltre, a causa di considerazioni generali sulla scelta delle coordinate curvilinee nella varietà, è possibile
ridurre a 6 le componenti indipendenti del tensore metrico.
In definitiva abbiamo 10 equazioni con 6 incognite rappresentate dalle componenti indipendenti
del tensore metrico, 3 incognite rappresentate dalle componenti della velocità della materia punto
per punto e da 1 incognita rappresentata dalla densità della materia (o dalla pressione) punto per
punto.
Si tratta quindi di un sistema di 10 equazioni (differenziali) in 10 incognite risolvendo il quale si
determina, istante per istante, punto per punto, la struttura della metrica dello spazio-tempo e la
distribuzione delle masse e delle loro velocità.
E' una specie di "equazione del tutto", risolvendo la quale si descrive un sistema in maniera completa
in un istante ed in tutti quelli successivi. Si tratta dell'unica equazione della fisica veramente completa (dal
punto di vista deterministico della meccanica classica).
La cosmologia moderna trae origine da questa possibilità di completezza : data una certa distribuzione
iniziale delle masse, delle loro velocità e data la metrica iniziale, è possibile conoscere l'evoluzione
dell'universo.
Si tratta però di equazioni non lineari estremamente complesse la cui soluzione esatta è possibile solo
in pochissimi casi.
Concludiamo notando che in assenza di materia il tensore dell'energia e dell'impulso
è
identicamente nullo. L'equazione di Einstein, in questo caso, si riduce a :
.
Il tensore di Ricci, quindi, nel vuoto è nullo. Questo però significa, come abbiamo visto sopra, che lo
spazio-tempo non è necessariamente piatto !! L'equazione di Einstein ammette soluzioni per cui, in
assenza di materia, la metrica non è piatta.
10 - Conclusione.
Questo è stato un breve corso introduttivo sulla vasta materia della matematica degli spazi curvi, orientato
a comprendere la teoria della relatività generale di Einstein.
Chi volesse approfondire il calcolo tensoriale, può trovare una trattazione più approfondita nella sezione :
"Calcolo differenziale assoluto (calcolo tensoriale)"
alla pagina :
http://www.arrigoamadori.com/lezioni/Matematica.htm .
Per un approfondimento sulla teoria della relatività generale si può consultare la pagina :
http://www.arrigoamadori.com/lezioni/RelativitaGenerale/RelativitaGenerale.htm .
Fine.