Questo corso è dedicato alla memoria del grande matematico romagnolo Gregorio Ricci-Curbastro
nato a Lugo nel 1835 e morto a Bologna nel 1925.
Egli portò a compimento, assieme al suo studente-collaboratore Tullio Levi-Civita (1873-1941), il lavoro
iniziato da Gauss (1777-1855) e portato avanti da Riemann (1826-1866) e da Christoffel (1829-1900)
sulla matematica degli spazi curvi, matematica che va sotto i nomi di calcolo tensoriale, calcolo differenziale
assoluto, geometria riemanniana ecc. Per un certo tempo, addirittura, questa branca della matematica
venne chiamata semplicemente col nome di "calcolo di Ricci".
E' tramite questa matematica "messa a punto" da Ricci-Curbastro che Einstein riuscì ad esprimere le sue
idee sulla gravitazione, idee che costituiscono la teoria della relatività generale (1916).
02 - Relatività generale.
La teoria della relatività generale di Einstein afferma in definitiva che le masse incurvano lo spazio-tempo.
Un corpo, trovandosi in uno spazio-tempo incurvato, non può che seguire, nella sua traiettoria di moto,
linee di minima distanza che, in linguaggio matematico, si chiamano geodetiche.
03 - Metrica.
Dato uno spazio qualunque, se si definisce in esso la possibilità di misurare la distanza fra due suoi punti,
si ottiene uno spazio metrico.
La metrica è quindi il "modo" di definire la distanza fra due punti di uno spazio.
Se conosciamo la metrica di uno spazio, possiamo allora definire le sue geodetiche (oltre naturalmente a
tutte le altre proprietà metriche di quello spazio ed alle grandezze che si riferiscono al concetto di distanza).
Lo scopo della relatività generale è quindi quello di definire la metrica dello spazio-tempo incurvato
dalle masse. Conoscendo tale metrica, si possono di conseguenza dedurre le geodetiche lungo le quali i
corpi sono costretti a muoversi.
04 - Spazio euclideo.
E' lo spazio "piatto" della nostra esperienza. Lo spazio le cui proprietà abbiamo studiato a scuola ed il cui
nome è in onore del grande matematico greco Euclide (circa 300 a.C.) che ne studiò a fondo le proprietà
tramandandocele in un trattato di fondamentale importanza.
Nello spazio euclideo vale il teorema di Pitagora. Un altro importante teorema che vale nello spazio
euclideo è, per esempio, quello che afferma che la somma degli angoli interni di un triangolo qualsiasi
vale un angolo piatto (180°).
Lo spazio euclideo a 2 dimensioni (il piano) si indica con R² . In esso si definisce la metrica misurando
la distanza fra due punti A e B con il teorema di Pitagora :
Si ottiene quindi :
dove con
si
indica la lunghezza del cateto orizzontale, con 
quella del cateto verticale e con 
si indica la lunghezza dell'ipotenusa, ovvero del segmento AB .
Lo spazio euclideo a 3 dimensioni (lo spazio usuale) si indica con R³ . In esso si definisce la metrica
misurando la distanza fra due punti A e B con il teorema di Pitagora :
Si ottiene quindi :
.
05 - Spazi non euclidei.
Uno spazio in cui non vale la geometria euclidea è uno spazio non euclideo.
Esempi :
- 1 - Lo spazio formato dall'insieme dei punti racchiusi dentro un cerchio (compresi i punti della
circonferenza).
I punti di tale spazio sono i punti del cerchio stesso e le rette sono le corde del cerchio.
Dal grafico si vede bene che per il punto P esterno alla retta a passano due rette parallele
(rette che per definizione non si incontrano) alla retta a (addirittura ne passano infinite).
Siccome uno dei postulati della geometria euclidea afferma che per un punto esterno ad
una retta passa una ed una sola retta parallela ad essa, è evidente che lo spazio in questione
non è euclideo.
- 2 - La superficie sferica.
Immaginiamo lo spazio formato dai punti di una superficie sferica (la Terra, per esempio).
Immaginiamo di trovarci al polo nord e di dirigerci verso l'equatore percorrendo un mezzo
meridiano. Giunti all'equatore, immaginiamo di percorrere il medesimo verso est per un quarto
della sua lunghezza. Infine, immaginiamo di ritornare al polo nord da cui siamo partiti in precedenza
percorrendo un altro mezzo meridiano :
Il triangolo che abbiamo tracciato ha tre angoli retti per cui la somma dei suoi angoli interni è
di 270° . Siccome nello spazio euclideo gli angoli interni dei triangoli hanno per somma un
angolo piatto (180°), lo spazio della superficie sferica non è euclideo.
06 - Varietà V² in R³ .
Un caso semplice ma emblematico di spazio numerico non euclideo di grande importanza è quello formato
da una superficie bidimensionale immersa in R³ (spazio euclideo tridimensionale).
Una tale superficie si chiama anche varietà bidimensionale V² ed in generale rappresenta uno spazio
curvo :
Una varietà V² è allora in generale uno spazio curvo non euclideo (su di esso, come nel semplice caso
della superficie sferica, non vale la geometria euclidea).
Una varietà può essere associata ad una equazione del tipo :
che si chiama per questo equazione cartesiana della varietà. Conoscere l'equazione di una varietà
significa conoscere la relazione matematica a cui soddisfano le coordinate dei punti della varietà e solo
quelli. Gli altri punti che non stanno sulla varietà non soddisfano l'equazione della suddetta.
Le variabili x e y sono dette variabili indipendenti perché possono assumere qualsiasi valore (entro
certi limiti che costituiscono il dominio della funzione). La variabile z è detta variabile dipendente
perché i valori che può assumere dipendono da x e y .
Vi è un altro modo di rappresentare algebricamente una varietà : tramite una sua rappresentazione o
equazione parametrica.
Siccome le dimensioni della varietà sono in questo caso due, introduciamo a questo scopo due parametri,
per esempio u e v . Fatto questo, poniamo x = u e y = v e sostituiamo nell'equazione cartesiana della
varietà. Otterremo allora :
.
Questa è una equazione parametrica della V² . Essa è molto "comoda" perché ci fornisce direttamente
le tre coordinate x, y, z di un punto della varietà a partire da due valori u, v dei parametri.
Con una rappresentazione parametrica della varietà si stabilisce perciò una corrispondenza fra le coppie
ordinate (u, v) di R² e le terne ordinate (x, y, z) di R³ che sono i punti della varietà :
Notiamo a questo punto un fatto di grande importanza : le rappresentazioni parametriche di una stessa
varietà sono infinite. Basta cioè sostituire ad u e v qualunque loro funzione di altri due parametri che
si ottiene una diversa (dal punto di vista algebrico) equazione parametrica della medesima varietà.
La più generica equazione parametrica di una varietà bidimensionale V² è :
dove le
, 
, 
sono tre
funzioni date dei parametri u e v .
Naturalmente, non ogni funzione dei parametri u e v è atta a rappresentare una varietà. Occorrono certe
precise condizioni restrittive sulla loro forma algebrica. Non entreremo in questi particolari perché, in questo
corso, perseguiamo lo scopo di fornire una introduzione intuitiva e di "concetto" della matematica degli spazi
curvi.
Si rimanda il lettore interessato ad un maggiore approfondimento ad uno dei numerosi testi completi sulla
materia o alla sezione dedicata al calcolo tensoriale di questo sito :
http://www.arrigoamadori.com/lezioni/Matematica.htm .
Esempi di V² :
- 1 - Superficie cilindrica.
Consideriamo il cilindro circolare retto di raggio R :
Consideriamo un punto P della sua superficie. La posizione del punto P può essere
rappresentata oltre che dalle sue coordinate cartesiane x, y, z anche tramite i parametri
u e v dove u rappresenta l'angolo indicato in figura e v rappresenta la quota z del
punto.
La rappresentazione parametrica che ne deriva sarà :
che abbiamo ricavato utilizzando le ben note formule trigonometriche del triangolo rettangolo.
- 2 - Superficie sferica in rappresentazione cartesiana.
Consideriamo la sfera di raggio R centrata nell'origine.
Un punto P della superficie sferica dista R dal centro della sfera (nonché origine degli assi
cartesiani). Applicando il teorema di Pitagora, ed essendo x, y, z le coordinate di P , si
ottiene :
da cui, ricavando la z , si ha (limitatamente ai valori non negativi di z ) :
.
Questa è l'equazione cartesiana della superficie semisferica (quella con z positivo o nullo).
L'altra semisfera avrà la stessa equazione ma con il segno - davanti alla radice.
- 3 - Superficie sferica in rappresentazione parametrica (1' caso).
Partendo dalla precedente equazione e ponendo x = u e y = v si ottiene :
che è appunto una rappresentazione parametrica della semisfera con z non negativi.
- 4 - Superficie sferica in rappresentazione parametrica (2' caso).
Introduciamo i due angoli u e v nel seguente modo (il punto P appartiene alla superficie
sferica) :
Considerando che
, si ottiene facilmente :
dove
e 
(essendo 
la misura in radianti dell'angolo piatto e 
quella dell'angolo giro).
Questa rappresentazione parametrica è analoga al sistema di latitudine-longitudine della
superficie terrestre ( u è la latitudine, misurata però dal polo nord, e v è la longitudine).
07 - Coordinate curvilinee su una V² .
Consideriamo una V² in rappresentazione parametrica. Supponiamo di tenere costante il parametro u
e di fare variare il parametro v :
Poiché il punto P corrisponde al punto Q , il punto P' al punto Q' e così via, otterremo allora una
linea su V² .
Analogamente, tenendo costante v e variando u si ottiene :
Abbiamo così costruito due coordinate curvilinee su V² .
Il punto Q è quindi il punto d'incontro di due coordinate curvilinee :
Sulla varietà V² è di conseguenza possibile costruire un sistema di coordinate curvilinee :
Esempi :
- 1 - Superficie cilindrica.
- 2 - Superficie sferica in rappresentazione parametrica (1' caso).
- 3 - Superficie sferica in rappresentazione parametrica (2' caso).
08 - Richiami di calcolo differenziale.
Sia data una funzione
. Essa è rappresentabile da una curva (nel caso che f sia
una funzione
continua). Consideriamo un suo punto A di coordinate x e y ed un punto "vicino" B di coordinate
x + dx e y + dy (dove dx e dy indicano quantità "molto piccole" di x ed y ) :
Chiamiamo derivata della funzione del punto A di ascissa x la pendenza della curva in A ovvero il
rapporto :
sottintendendo che dx sia molto piccolo, tendente a 0 . Indichiamo tale rapporto, la derivata della
funzione in x , con il simbolo
per cui scriviamo :
.E' chiaro che, perché la derivata in A esprima veramente la pendenza della curva in A , occorre che
dx sia piccolissimo, tendente a zero. In caso contrario, come in figura, detto rapporto non indicherà la
pendenza della retta t (la tangente alla curva in A ), come dovrebbe essere, bensì la pendenza della
secante r che passa per A e per B .
Perché nel grafico si "vedano" i segmenti dx e dy , essi devono essere disegnati abbastanza grandi ma
si sottintende sempre che essi debbano tendere a 0 .
Per valori non tendenti a 0 di dx e dy , il rapporto dy/dx approssima la derivata in A e questa
approssimazione è tanto più buona quanto più queste grandezze tendono a 0 (è sufficiente che si faccia
tendere a 0 la sola grandezza dx , che dy tenda di conseguenza a 0 , perché la variabile dipendente y
è funzione dalla variabile indipendente x , così come indicato da
).
Come conseguenza della definizione di derivata, abbiamo la definizione di differenziale. Esso esprime
di quanto la funzione è variata nel passare da A a B , qualora dx sia molto piccolo, tendente a 0.
Poiché, per definizione
, si ha di conseguenza :
ovvero il differenziale di y è pari al prodotto della derivata in x per dx .
Questa è una formula di estrema importanza perché ci permette di conoscere il valore di una funzione in
un punto vicino ad un punto dato senza conoscere il tipo di funzione, ma solo il valore di essa nel punto
di partenza (A) , la derivata della funzione nel medesimo punto e l'incremento dx . Naturalmente dx
deve essere considerato tendente a 0 . Per valori di dx non infinitesimi, il valore di dy ottenuto è solo
una approssimazione della variazione della funzione, tanto migliore quanto più dx è piccolo.
Nel caso di dx "grandi", essendo
(la derivata in A ) la pendenza della curva in A , ovvero
il
rapporto CH / HA , si ha che il valore
corrisponde alla lunghezza del segmento CH che è
ovviamente diverso da dy . Esso diventa sempre più prossimo a dy tanto più dx diventa piccolo.
Per le funzioni di due variabili
che rappresentano le varietà V² si perviene alla definizione
di
due derivate. Una secondo l'asse x e l'altra secondo l'asse y . Si hanno così le due derivate parziali :
, 
(notare il simbolo
utilizzato per distinguerle dalle derivate di funzioni ad una variabile, dette
anche per
questo derivate totali).
Dal punto di vista geometrico, le derivate parziali si possono giustificare guardando il grafico :
Se si tiene costante la x , si ottiene la derivata parziale rispetto alla y ,
, perché è come considerare
la sola funzione
, dove a è una costante.
Se si tiene costante la y , si ottiene la derivata parziale rispetto alla x ,
, perché è come considerare
la sola funzione
, dove b è una costante.
Anche il concetto di differenziale può essere esteso alle funzioni a più variabili indipendenti. Per le funzioni
si ha
la seguente definizione di differenziale :
che è una "logica" generalizzazione di quello delle funzioni ad una variabile.
Graficamente :
dove la variazione dz della funzione
è data dalle differenze di "quota" dei punti P e Q
.
Naturalmente, come nel caso delle funzioni ad una sola variabile indipendente, il valore di dz approssima
sempre più il valore reale della differenza tanto più i dx e dy sono piccoli, tendenti a 0 .
Fine.