E-school  di  Arrigo Amadori

in collaborazione con :

Associazione Astrofili Cesenati  http://www.astrofilicesena.it/index.html  

CORSO DI CULTURA SCIENTIFICA DI BASE

(103') incontro del 07/04/2006 

resoconto

01 - Correzione esercizio per casa.

Dati sul piano cartesiano i punti  A(1 , 1) , B(2 , 3) , C(4 , 2) , determinare le lunghezze dei lati del triangolo  ABC  e le ampiezze dei suoi angoli.

Soluzione.

Riportiamo i punti sul piano cartesiano :

Calcoliamo direttamente le lunghezze dei lati del triangolo  ABC . Per il teorema di Pitagora abbiamo :

        .

Siccome verifichiamo che  AB = BC , il triangolo  ABC  è isoscele. 

Si verifica anche che :

        .

Infatti abbiamo :

        .

Ma la formula    (teorema di Pitagora) è verificata solo se il triangolo  ABC  è rettangolo in  B per cui abbiamo dimostrato anche che l'angolo in  B  è retto, cioè :

        .

Di conseguenza, siccome la somma degli angoli interni di un triangolo è  , avremo che :

        .

Il triangolo  ABC  è quindi un triangolo rettangolo isoscele.

La dimostrazione fin qui riportata è alquanto banale data la "semplicità" della figura.

Ridimostriamo i dati appena ricavati con l'uso della trigonometria. Per fare questo, per comodità, scriveremo direttamente sul grafico.

Abbiamo allora :

I valori degli angoli indicati in figura li abbiamo ricavati applicando il noto teorema della tangente di un angolo (non retto) di un triangolo rettangolo.

L'angolo    l'abbiamo ricavato ricordando che la somma degli angoli interni di un triangolo è un angolo piatto. Potevamo però benissimo calcolarlo direttamente come abbiamo fatto per gli altri due.

Inoltre (fatto molto importante !!) abbiamo introdotto ed usato la funzione  arctan  che si legge "arcotangente". Essa è la funzione inversa della tangente.

Il significato di  arctan  è il seguente. Se :

allora :

        .

Ovvero, se  y  è la tangente di  x  allora  x  è l'arco (angolo) la cui tangente è  y .

Un esempio numerico. Si sa che :

        .

Allora :

        ,

cioè    è l'arco (angolo) la cui tangente è  1 .

Sul nostro grafico, per esempio, l'angolo indicato come :

è l'angolo la cui tangente è  2 . Esso lo abbiamo ricavato facendo, come afferma il noto teorema, il rapporto fra i cateti di cui il primo è quello opposto all'angolo stesso (abbiamo fatto cioè  2  fratto  1 ). Esattamente :

dove abbiamo indicato    .

Abbiamo quindi in definitiva :

        .

Ricaviamo ora il valore esplicito in radianti (approssimato o non) di  mentre lasciamo al lettore il compito di ricavare gli altri due angoli del triangolo (con procedimento analogo). Per fare questo utilizziamo anche il cerchio trigonometrico :

che ci aiuta a meglio visualizzare l'angolo cercato.

Ricordando che :

        ,

possiamo scrivere :

dato che ovviamente :

cioè la "tangente dell'arco la cui tangente è  x " è  x .

Abbiamo allora ricavato che :

per cui possiamo affermare che :

come già ricavato precedentemente per altra via.

Fine.

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